CHAPITRE IV. — FONCTION EXPONENTIELLE 2Q

L'expression $■( ) est la partie de la fraction proposée qui

devient infinie quand x s'approche de X;. (£{:/:) est la partie de la fraction qui devient infinie, ou qui reste constante, quand x devient

f(x) infini, ■^{x) s'appelle aussi la partie entière de la fraction '—-7 •

Chacun des polynômes :i'i(c), 'I{x) est entièrement déterminé ciuand on se donne la fraction-'-—: ; en d'autres termes, celle-ci ne

peut se mettre que d'une seule façon sous la forme (i).

Les résultats qui précèdent conduisent de la façon la plus simple, à la solution d'un problème important.

Soient «1, a.2, ..., a,,, p nombres distincts donnés ; à chacun de ces nombres «i correspond un nombre naturel a; également donné : On propose de trouver un polynôme de degré inférieur à a^ -h «2 -h ... -l- 7.p, tel que les valeurs de ce polynôme et de ses cCi — I premières dérivées pour x = a; soient des nombres donnés {i = i, 2, ...,p). Dans le cas où a; serait égal à i, il faudrait entendre que la valeur du polynôme pour x ^= ai est donnée, mais non celle de ses dérivées.

Soit/(j:) le polynôme cherché et considérons la fraction rationnelle

[x — «1)^1 (.r — a,y^ ... [x — fl^j^" '

on peut, comme on vient de l'expliquer, mettre cette fraction sous la forme d'une somme de fractions simples ; il n'y aura pas de partie entière, puisque le numérateur est de degré inférieur au dénominateur ; considérons par exemple la partie du développement qui correspond à la racine ai de ce dénominateur, que l'on peut écrire (x — a;)^' g{x), en désignant par ^(x) le produit des facteurs autres que {x — ai)^' ; pour obtenir la partie cherchée du développement, on posera, d'après la règle précédente x = a, -h ~ et l'on devra effectuer la division de /(a; + z) par g [ai + r), en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de z, et en s'arrètant, dans le quotient, au terme en c^'~'; le polynôme g{x) ou g[ai -+- z) est entièrement connu, par les données; quant au polynôme

on n'a besoin, pour faire la division, que d'en connaître les ai premiers coefficients ; or c'est précisément ces a; premiers coefficients que les données font connaître ; donc la division fera connaître la partie

^i ( ) de la fraction rationnelle qui correspond à la racine ai et

l'on voit que le polynôme /(«) sera le produit de

(a; — aj^i (cr — fl.)='2 ... (a- — fl^,)°'p • par

Un cas particulièrement simple et intéressant est celui où tous les nombres 74 sont égaux à i ; il s'agit alors de former un polynôme de degré inférieur à /) qui prenne des valeurs données Al, A2, ..., Ap pour des valeurs données a^, a^, ..., a^, de x.

La règle précédente donne ici

„, . ^ ^ (x — a,) (x—a,;) ... (x—a,) ^ ^ ■ ix — a,](x — a.,)...(x — o,) . (x — a,){x — ffg ) . . ■ (.r — a,,^ 1)

et cette formule même met bien en évidence la propriété du polynôme/(jc).

Le lecteur reconnaîtra sans peine que cette formule est équivalente à celle-ci

f(x) fia,) i ^ /( «,) i ^ , f{a,)

où '>'(flj, 'p' («a), ••• sont les valeurs pouric = aj, a^, ... de la dérivée d [x) du polynôme

©(a?) = (x — aJ [x — 02) '•• {^ — 0.^ '■)

elle suppose seulement que les nombres a^, a^, ..., aj, sont dictincts et que le polynôme f{x) est de degré inférieur à p.

175. — La fonction a", où a est un nombre positif que, dans cq qui suit, je supposerai plus grand que i, est définie dans l'ensemble des valeurs rationnelles de x (n" 27). Il reste à la définir pour les valeurs irrationnelles. Il convient d'abord d'en établir les propriétés

CIIAI'ITUE IV. l'ONGTlON EXPONENTIELLE yjl

SLiivanlcs, en ne considérant que ces valcuis rationnelles ponr lesquelles elle est définie : La fonction a'^ est continue pour chaque valeur rationnelle de x : cette continuité doit être entendue au sens du n" 152, en se rappelant que chaque nomhre rationnel est un point d'accumulation de l'ensemble des nombres rationnels ; en d'autres termes, cet ensemble est dense dans tout intervalle. Si . 7; et j sont des nondjrcs rationnels l'inéyalilé j; > j entraîne l'inégalité a'' ^ a'J ; on peut dire, si l'on veut, que dans l'ensemble des nombres rationnels, a" croît avec x (n" 146).

L'identité

a^o + h ^^xo^^^x, ^^h ^y

où .Cj et h sont supposés rationnels, permet de ramener l'étude de la fonction a", aux environs de x^, à cette même élude pour les valeurs de h voisines de o.

Supposons d'abord que h soit positif et soit m un nombre naturel tel que l'on ait /« < ~ , on aura

«'' < a"' ou V « ;

il est aisé de voir que l'on peut prendre m assez grand pour que 7/rt soit aussi voisin de i qu'on le voudra. Soit en effet 'y/«= i + a, en désignant par a un nombre positif ; on en conclut

a = (i + a)"' > I + wa ou iivj, < a — i ;

si donc on veut que a soit plus petit que le nombre positif s donné à l'avance, il suffit de prendre m >> — - — ; c'est-à-dire m supé-

rieur à la partie entière de

On aura d'ailleurs, que h soit positif ou négatif, \ o!" — i I < £,

pourvu que l'on ait | ^H "^ 7,î » "^ étant déterminé comme on vient de le dire ; car si /i = — k est négatif, on aura

puisque d' est plus grand que i . Ainsi il suffit de prendre h plus

petit, en valeur absolue que l'inverse d'un entier supérieur à la