partie entière de pour être sur que 1 on a | a — i | <; s ; c est

dire que la fonction d^ est continue pour x --= o, puisque i est précisément la valeur de cette fonction pour x = o : la continuité de la fonction, pour une valeur rationnelle quelconque x^, résulte de l'identité qui a servi de point de départ.

On voit même sur cette identité, que, comme on le savait d'après le n" 162, la continuité de la fonction a^ est uniforme dans tout intervalle ( — - )., X) dont les bornes sont des nombres rationnels ; si en effet x^ et x^ -h h appartiennent à cet intervalle, comme on a certainement «■^o ^ a^, on voit que la différence entre a^-o + h et a^o

sera moindre en valeur absolue que z, pourvu que l'on ait | /i | ■< —

et que m soit un nombre naturel supérieur à la partie entière

1 a — i de — -s

Soit maintenant X un nombre quelconque, rationnel ou non. Soit (E) l'ensemble des valeurs de a" pour les valeurs rationnelles de X inférieures à X, (Ej) l'ensemble des valeurs de a^ pour les valeurs rationnelles de x supérieures à X. D'après ce qu'on vient de dire tous les éléments de (E) seront inférieurs aux éléments de (El) ; il n'y a pas dans le premier ensemble de nombre plus grand que tous les autres éléments de cet ensemble, ni dans le second de nombre plus petit que tous les autres éléments de ce même ensemble : il y a dans les deux ensembles des éléments dont la diflérence est moindre que s.

La borne supérieure de (E) est égale à la borne inférieure de (Ei) et elles sont toutes deux égales à a" si X est rationnel : c'est cette borne commune que l'on prendra pour définition de a", quand X est irrationnel.

L'extension de l'identité

a" . aP = a^ + y

au cas où x, y ne sont pas tous deux des nombres rationnels est une conséquence du n° 45 ; le fait que l'inégalité a; >■ y entraîne a' ;> a^ s'aperçoit immédiatement en intercalant un nombre rationnel z entre x et y, on a alors

CTT.U'ITHK IV. FONCTION EXI'ONF.NTIKrj.E

comme il résullc de l;i cl(Tiiiilinii pn-ccdonte. Ln limite des valeurs de I h I au-dessous de laquelle on peut affirmer que l'on a

reste la même puisque la proposition d'après laquelle on a

a'' <; a'" quand le nombre positif h est plus petit que l'inverse du nombre naturel m subsiste ainsi que les conclusions qu'on en tire. La continuité de la fonction a'' pour./: = o, et pour toute valeur de X, subsiste donc aussi.

On a

lim. a' = -{- X) , lim. a- = o ;

X = -{• ca X = — :o

la première proposition résulte de ce que, en pesant a = i -h (/., et en désignant par m la partie entière de x, rr qui est égal ou supérieur à a" est certainement plus grand que i +ma et de ce que

Fisf. 8

m grandit indéfiniment avec x ; la seconde résulte de la première et de réo-alité

Ainsi, quand x croit de — x à -r- co , la fonction a^ croît de G à -H ^ . Cette variation est représentée par la figure ci-dessus. Lorsque a est plus petit que i, on posera a = |^ , h étant plus grand que i . et Ton définira a^ par l'égalité

Tamnebt I, - Introduction à la théorie des fonctions

Toutes les propriétés subsistent, si ce n'est que, dans ce cas, a' décroît de -h co à o quand x croît de — co à -h co . Si aest égal à I , a"" est par définition aussi égal à i .

Afin de définir a" pour toutes les valeurs de x, on s'est appuyé sur ce que la fonction a% définie dans l'ensemble des nombres rationnels, était à la fois continue et croissante dans cet ensemble. La continuité seule aurait permis d'arriver à cette définition, en s'appuvant sur la règle du n" 158, qui permet de reconnaître si une fonction définie dans un ensemble (ici l'ensemble des nombres rationnels) admet une limite pour un point d'accumulation X de cet ensemble. Il est clair, en raison de la continuité, que l'on peut faire correspondre au nombre positif î un nombre positif Tj tel que l'on ait

sous la condition que x, x' soient rationnels et vérifient les conditions

IX — .r| <ïi, 1 X — a''l <-ri;

qui entraînent la condition \ x — x' \ <; ay;; c'est la condition nécessaire et suffisante pour que la fonction a'^ ait une limite pour £c = X, au sens du n" 151 ; cette limite est, par définition, la valeur de a"-'. L'extension des propriétés établies pour l'ensemble des nombres rationnels se fait sans difficulté quand on se place à ce point de vue.

En raisonnant de la même façon, le lecteur établira sans peine la proposition suivante :

Si f{x) est une fonction de x définie dans un ensemble (E) dense dans l'intervalle (a, b) et si elle est continue dans cet en- S3mblc, on peut la définir comme une fonction continue dans tout l'intervalle (a, h).

176. — La fonction a" étant définie, continue et croissante dans tout intervalle (a, fj), on voit que x peut être défini comme la fonction inverse de y, par l'équation

dans l'intervalle [a^, a?) ; x sera une fonction de y continue et

CHAPiTUE IV. — FONnrfON EXPONKNTini.Lii: 27;^

croissante (oa su[)[)osaiil a >> i) : (jii I.i (l«'signc par log„ j (logaritlinic Je y clans la base a) on, lorsqu'il n'y a pas d'ambignïlé à craindre, par log y. Les bornes n'\ d^ de l'interv.alle ou celle fonction est définie sont deux nombres positifs fpielconf|ues ; en d'autres termes log y est déiini pour toutes les valeurs positives de y, log y est positif pour J >• i, nul pour J = i, négatif pour j <^ i, et croit de — ■ 00 à -h ^ quand j varie de o à i ; la variation de log- j se lit sur la figure de la page 27.3 en regardant y comme la variable et x comme la fonction.

La fonction log x peut être regardée c(jninie définie par l'équation

oi^i il est entendu que x est nn nombre positif.

A la propriété cf . a'' = a' + '/, correspond la propriété fondamentale des logarithmes

log [xy) = log X + log V,

à laquelle on peut rattacher les suivantes

lo" - = lo.n- X — lo^- y, lo'f - = — Io:i' x : X, y sont toujours supposés positifs.