La propriété fondamentale

dont jouit la fonction a'', caractérise cette fonction ; toute fonction C'(x), continue pour toute valeur de x et qui jouit de la propriété (i), est de la forme a" ; j'emprunte la démonstration de cette proposition à Cauchy (').

En remplaçant d'abord dans l'égalité (i) x et y par 7. on trouve

ce qui montre que la fonction o(x') doit être positive quel que soit a". (1) Cours d'analyse de l'Ecole royale polylccluiiqac, p. 106.

Puis, la supposition }' == o donne

cp (x) o (o) t= cf {x) ; on a donc

(2) cp(o)=i;

si l'on ne veut pas supposer que la fonction (d{x) soit constamment nulle.

En faisant y = — x dans f i), on trouve

(o) cp(a:)cf( — x) = 0(0) = I.

L'égalité fondamentale (i) conduit immédiatement à la suivante :

d'où, en supposant toutes les quantités x^, x^, ..., Xn, égales à x

(4) ^{nx) = [o(x)f;

cette égalité, établie pour un nombre entier n, s'étend aux nombres quelconques.

Elle s'étend d'abord aux nombres positifs n de la forme -, oùjo

est un nombre entier, car l'égalité (li), quand on y remplace n par/)

et X par - , devient

d'oii

c'est bien la détermination arithmétique qu'il faut prendre pour

v/ç(aî), puisque 'i, (- j doit être positif: l'égalité (5) n'est autre que

l'égalité (4), où - remplace n.

Si maintenant on élève à la puissance q, q étant un nombre naturel, les deux membres de l'égalité (5), on a