CHAPITRE IV. — r'ONCTION EXPONENTIELLE

mais en vertu de l'égalité (/i), on a, par suite on a

cp/l ,rj = ['f (.r)l?.

Ainsi l'égalité (/|) est étendue à tous les nombres rationnels positifs ; en tenant compte de (3), elle s'étend immédiatement à tons les nombres rationnels négatifs : elle est vraie pour /i = o, en vertu de (2).

Jusqu'ici, on ne s'est pas servi de cette supposition que la fonction (p(x) est continue. Cette supposition intervient pour étendre aux nombres irrationnels l'égalité (4).

Soit en effet

7lj , 1X2, ..t, Jly, ,..,

une suite infinie de nombres rationnels ayant pour limite le nombre irrationnel n ; on aura, quel que soit l'indice r,

lorsque /■ augmente indéfiniment, Ji,x tend vers nx, et puisque la fonction 'j est continue, ''■p{n,x) a pour limite rD{nx] ; de même ['ï'(a')]"'- a pour limite [©(a;)]", à cause de la continuité de la fonction a'" ; les limites des deux membres sont égales et l'on a ainsi, quel que soit le nombre n,

[6] cp(n.r) = ['.(x)]".

Si maintenant, dans cette égalité, on remplace x par i et n par .r, il vient

p(a-) = [cj>(i)p;

en désignant par a la constante positive © (i), on aura finalement

Observons que le mode de raisonnement qui a permis d'établir

278 INTRODUCTION^A LA TIIKOME DES FOÎS'CTIO^S

l'égalitc (6), appliqué à la fonction a', prouve que l'on a, quels que soient les nombres n et x

et que cette même égalité, lorsqu'on y remplace x par logx, puis ^log^ par X, devient

d'où l'on conclut l'égalité

n log X = log .t",

qui est vraie quels que soient le nombre n et le nombre positif a;. La même métbode qui a permis d'établir que la propriété

lorsqu'on suppose la fonction g (.r) continue, n'appartient qu'à la fonction a' , permet de montrer que la propriété

o (xy) = o {x) + ç^ (v),

lorsque Ion suppose la fonction ç; (œ) continue n'appartient qu'à la fonction \ogx ; au reste l'une des propositions peut être rattachée à l'autre.

178. — Lorsque m est un entier positif ou négatif, la fonction X'" est entière ou rationnelle. Si m est un nombre fractionnaire ou irrationnel, la fonction a:™ est définie pour toutes les valeurs positives de x; comme on peut, en remplaçante par a'"^"", et en utilisant les remarques du numéro précédent, la mettre sous la forme

on voit en se reportant aux propriétés des fonctions logjî, a"" et aux remarques du n° 171 sur les fonctions de fonction, qu'elle est continue pour toutes les valeurs positives de x, à l'exclusion de la valeur o ; que, lorsque x croît de o à H- co , elle croît de o à -1- 20 , ou décroît de + 00 à o suivant que m est positif ou négatif. Au reste il ne serait pas bien difficile d'établir ces propositions direc-

CFIAPITUE I\ . FO:SCTION X'" 2 79

tcmcnt, en se bornant au cas où m est positif, et en s'appuvant d'une pai't sur l'égalité

d'autre part sur la remarque suivante : si M est un nomlire natnrel plus grand que m, on a en désignant par y) un nombre positif moindre que i

I < (i -^ "O"' < (i ^ \>^ < t ^- Mr. ([ -L T./'-' < I ^ 2"'- 'Mr., La fonction x'" jouit évidemment de la propriété

et un raisonnement analogue à celui du numéro précédent montre quelle est la seule fonction continue qui jouisse de cette propriété (').

Les fonctions particulières que l'on a considérées jusqu'ici se sont présentées naturellement ; les fonctions circulaires dont il va bientôt être question ont assurément leur origine dans la géométrie : l'étude des propriétés de ces fonctions a conduit à des représentations analytiques qui peuvent être prises pour définitions de ces fonctions et permettent de retrouver leurs propriétés : ces définitions se rattachent à la considération de suites dans lesquelles les termes ne dépendent pas uniquement de leur rang mais bien d'une variables. C'est sur la considération, très importante en elle-même, de ces suites que je vais m'arrêter maintenant.

(1) Le môme mode clo raisonnement permet encore d'établir que la fonction a.t, où a est une constante quelconque est la seule fonction continue qui jouisse de la propriété

'fW + 'fOO = 'f (j= -F :■)•

C'est cette proposition qui sert habituellement à établir la proportionnalité dr grandeurs.