I. CONVERGENCE UNIFORME

179. — Désignons en général par fn{x) une fonction delà variable x, qui, pour chaque valeur du nombre naturel n soit déterminée dans un ensemble (X), par exemple dans un intervalle [a, h). Supposons que, pour chaque valeur de x appartenant à l'ensemble (X),/^j (.r) ait une limite quand n augmente indéfiniment : cette limite, étant ainsi déterminée pour chaque valeur de x qui appartient 5 l'ensemble (X) peut être regardée comme une fonction de x déterminée dans l'ensemble (X) ; je désignerai cette fonction par / [x) et je poserai

lim./„(a^) =f{x).

Il est naturel de dire que la fonction / (a-) est la limite de fn{x) pour n infini. Si l'on se donne une valeur de x, appartenant à l'ensemble (X) et un nombre positifs, il existera certainement une valeur de n telle que l'on ait, pour cette valeur de x

l/G^)-/nHl<^;

Cette valeur de n dépend en général de x et de z ; le cas où elle ne dépend que de £ est particulièrement intéressant. En effet, dans ce cas, la fonction/» [x] fournit une expression approchée de/(x),

CIIAI'ITUE V. '- — CONVEUGENCl!; UiNIl'OltM l', 281

avec un degré d'approxinialion qui est le mèuie quelle que soit la valeur de .i;, appartenant à l'ensemble (X) ; elle renseignera ainsi, dans une certaine mesure, sur les pru[)riétés et l'allure de la fonction f [x), qui, dans bien dos cas, n'est connue que par les fonctions /„ {x) dont elle est la limite. Au contraire, si afin d'avoir le même degré d'approximation, on peut, pour certaines valeurs de x, s'arrêter à une fonction/,, (*•) où n n'est pas très grand, tandis qu'il faut, pour d'autres valeurs de x, aller très loin dans la suite

le fait que cette suite a pour limite /(ce) constitue un renseignement beaucoup moins précieux.

Je dirai que la fonction /„ (x), déterminée pour chaque valeur du nombre naturel n et pour chaque valeur x de l'ensemble (X), tend ou converge uniformément dans (X), au sens large, vers sa limite f (x), lorsqu'à chaque nombre positifs, si petit qu'il soit, correspond un nombre naturel n tel que l'on ait

■ \f(rr)-fn(^r)\<^

pour toute valeur de x appartenant à (X). Je dirai, dans les mêmes conditions, que la suite/ {x), f^{x), ... est uniformément convergente au sens large.

Cette dcfmition large de la convergence uniforme permet en quelque sorte dans la suite/ {x), /.^ (x), ..., supposée convergente (sans épithète) une certaine irrégularité, qu'il est souhaitable d'exclure. On peut bien avoir, pour une certaine valeur de n, et pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à (X),

en sorte que, pour toutes ces valeurs de x, fn {x) représente f{x) avec une erreur moindre que s, sans que cette approximation se conserve quand on va plus loin dans la suite, sans que l'on ait \f{x) — fm {x) I < c. pour /?? > n. vVussi convient-il d'adopter pour la définition de la convergence uniforme, proprement dite, la suivante, évidemment plus restrictive que celle qui précède.

La fonction /, (x) , déterminée pour chaque valeur du nombre naturel n et pour chaque valeur de x appartenant à (X), tend ou converge uniformément dans cet ensemble vers sa limite / [x)

lorsqu'à chaque nombre positif s, si petit qu'il soit, correspond un nombre naturel p tel que l'on ait \f{x) — fn {x) \ << s, quels que soient le nombre x, appartenant à l'ensemble (X), et le nombre naturel n supérieur ou égal à p.

C'est cette définition qui sera adoptée dans la suite, à moins que l'on ne dise convergence uniforme a au sens large ».

On peut réunir les conditions nécessaires et suffisantes pour que fn {x) ait une limite, et tende uniformément vers cette limite, en disant :

La fonction /„ {x) a une limite pour n infini et tend uniformément vers sa limite dans l'ensemble (X) si à chaque nombre positif £ on peut faire correspondre un entier p tel que l'on ait, pour toutes les valeurs des nombres naturels n, m supérieures ou égales kp,

\fn{^)-U{:r)\<^

quel que soit le nombre x do l'ensemble (X).

J.a condition est nécessaire, car si la fonction fn [x) tend uniformément vers sa limite/ (.1;), on peut faire correspondre au nombre -

un nombre y) tel que l'on ait pour les nombres n et m supérieurs ou égaux à p,

I/.H-/HK-. \Ui:^)~f[x)\<~

et, par suite

Elle est suffisante ; car, si elle est vérifiée, l'existence d'une limite /(c), pour chaque nombre x appartenant à (X), résulte d'abord du théorème du n" 56 ; puis l'inégalité précédente, si l'on y fait croître m indéfiniment, donne \fn (x) — f [x) | ^ s, pour toutes les valeurs de n supérieures à /).

On sera certainement dans ce cas si l'on connaît une suite infinie de nombres a.^, ry,^, ..., an, ■■., admettant une limite et tels que l'on ait, pour toutes les valeurs des nombres naturels n, m et pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'ensemble (X),

\Jm (-y) —fn {x) I <, 1 a„j — a,J,

puisque, si l'on se donne le nombre positifs, on peut lui faire cor-

CTT.VPiTnr: v. — coNVEunENCK iiNiFonME 283

rrspondrr' un nomlirc naturel p tel que l'on nit|am — 7.n\<Cî, sons les condilions m'^p, n >> p. Le cas ou les nombres a,, a,, .... v.„, ... sont positifs et forment une suite croissante (ou décroissante) se présente frckjuemment.

Notons encore la remarque évidente que voici ; si la suite /i {^)'f-2 (•^)» ••• est uniformément convergente dans l'ensemble (\), elle est uniformément convergente dans tout ensemble (X,) contenu dans (X).

Voici maintenant quelques exemples : soit y^, (.x) = —^ — r. '• la

fonction y,, (.c) est définicpour toute valeur positive ou nulle de x ; on a évidemment

lim. f„ (.r) = I ou o,

suivant que x est nul ou positif : la fonction /(■'-') est égale à i pour X z= o, elle est égale à 0 pour les valeurs positives de .r. Pour

X = -. la fonction /"„ (x) est d'ailleurs é^ale à -; dans l'intervalle

(o. i), elle ne tend pas uniformément vers sa limite. En effet, quelque soit le nombre naturel n, il y a dans l'intervalle considéré

une valeur « = -, pour laquelle la différence \fn (.r) — f {-v) \ est

égale à -. On observera ici que la fonction /(.r) n'est pas continue

dans l'intervalle (o, i), quoique chacune des fonctions /^, {x], dont elle est la limite soit continue.

Dans tout intervalle (a, b) limité par deux nombres positifs a, b (a <Z b), la fonction /'„ [x) tend uniformément vers sa limite o, en effet, pour avoir

il suffira de prendre n supérieur à la partie entière de ^ .

Considérons maintenant les fonctions y„ (x) définies par les égalités suivantes :

284 INTRODUCriON A LA THÉORIE DES FONCTIONS

il est clair que l'on a lim. f.,,n{x) = o, quel que soit x et, par consé-