OO
quent, quel que soit encore x,
Um. f„(x) =f{x) = o.
Considérons l'interA^alle (o, i). Pour x = - , on a f^m (x) = i .
La fonction /„(j;) tend uniformément, au sens large, vers sa limite, puisque, pour toutes les valeurs impaires de n la différence \fn [x) — /^.r) I est nulle ; mais elle ne tend pas uniformément vers cette limite, au sens qui a été adopté finalement, puisque, quelque grand que soitp, il y a des nombres pairs im plus grands que p
et des valeurs - de x, telles que la différence | /,„ {x) — f{x) | soit
égale à i.
Les exemples qui précèdent mettent en évidence la différence entre la convergence sans épitliète, la convergence uniforme proprement dite et la convergence uniforme au sens large. Les considérations générales qui terminent le présent numéro contribueront à éclaircir la notion capitale de la convergence uniforme ; toutefois le lecteur peut, sans inconvénient pour la suite, les laisser de côté.
Supposons qu'à cliaque valeur du nombre positif c corresponde un nombre naturel n tel que l'on ait, pour toute valeur de x appartenant à (X), \f{x) — fn (.») I <C î : à ce nombre s peuvent d'ailleurs correspondre plusieurs nombres n, même une infinité : soit en général, 8 (c) l'ensemble des inverses des nombres naturels n qui correspondent ainsi à s ; on aperçoit de suite que l'ensemble g (s) satisfait aux conditions du n" 156 ; il y a donc un ou plusieurs points k, formant un ensemble 8 (o), dont chacun appartient à tous les ensembles 8''c) ou est, pour chaque ensemble 8 (c), un point d'accumulation. D'autre part, par sa nature même, l'ensemble 8 (c) ne peut avoir d'autre point d'accumulation que le point o ; il y a deux cas à distinguer suivant que o est, ou non, un point d'accumulation pour tous les ensembles 8(c). Dans le cas où o n'est pas un point d'accimndation pour tous ces ensembles, ceux-ci doivent
avoir au moins un point commun k ; si l'on pose n = -r, le nombre
naturel n jouira de la propriété suivante ; quel que soit le nombre positif £ on aura, pour chaque valeur de x appartenant à (X),
