CHAPITRE V. CONVERGENCE l'N'ri'ORME 'aHÔ

\j{x) — /„ {x) I < £, cL par suite /^,(.x') —/(./;), Dans ce cas. l'un des termes, au moins, delà suite/, [x),f-,[x), ... sera la fonction limite elle-même. Cette circonstance s'est présentée dans l'un des exemples précédents. Supposons maintenant que o soit un point d'accumulation pour tous les ensembles 8 (î), c'est-à-dire qu'il y ait, quel que soit le nombre positifs, des nombres naturels n, aussi grands qu'on le veut, tels que la différence f{x) — /„(a:) soit moindre que c en valeur absolue, pour toutes les valeurs de x appartenant à (X) ; on va montrer qu'on peut alors extraire de la suite /i (a?), j\{x), ... une autre suite (Di[x), '^^[x), ... qui soit uniformément convergente, au vrai sens du mot.

Donnons-nous, en effet, une suite infinie de nombres positifs décroissants, Hj, s^, ..., £,-, ..., tels que l'on ait lim. i,. = o, et soit

en général n,. l'inverse d'un nombre qui figure dans l'ensemble 8 (c,.), précédemment défini ; on prendra ç;,. (x) =/»,, (x) ; la suite GJj [x). 0=1 [x], ..., sera bien uniformément convergente, puisque, si on se donne le nombre positif £, et si l'on prend dans la suite I,, c,, ..., un nombre ;,. <C c, on aura pour toutes les valeurs de l'indice s supérieures ou égales à r,

Ainsi les suites/, (a?)./ (x), ..., que l'on a appelées plus haut « uniformément convergentes, au sens large » peuvent être divisées en trois catégories.

i" Celles qui sont uniformément convergentes au vrai sens du mot;

2" Celles d'où l'on peut extraire une suite uniformément convergente, et qui peuvent ainsi être regardées comme provenant d'une telle suite, où s'intercalent des termes irréguliers qui. toutefois, n'empêchent pas la convergence (^sans épithète) de la suite ;

3" Enfin celles d'où l'on ne peut pas extraire de suite uniformément convergente, mais où la fonction limite /(.r) figure comme terme : c'est la seule présence de ce terme, laquelle n'a évidemment rien d'essentiel, qui rapproche la suite/ {x), /^ (x), . ., d'une suite uniformément convergente.

Soit / (x), f^ {x), ..., une suite infinie de fonctions déterminées dans l'ensemble borne (X) : je suppose qu'il y ait une fonction / (:'■). déterminée dans le même ensemble, telle que l'on ait, pour

386 I>"fl\ODUCTIOîi) A LA THÉOUIE DES FO^JCTIONS

chaque valeur de x appartenant à (X), lim./„ {x) = f (a) ; je sup-

pose en outre que la suite n'est pas uniformément convergente dans cet ensemble, c'est-à-dire qu'il ne correspond pas à tout nombre positif a un nombre naturel p tel que l'on ait