CHAPITRE I. NOMIUVES IHKATIONNELS /( I

/ un nombre naturel donné ; on peul trouver des fractions u termes entiers

dont le dénominateur soit un nombre naturel au plus égal à l" et qui diffèrent respectivement des nombres Ai, Ao, ..., An de quantités moindres que j-^ .

En effet dans les expressions

Aj — :r, , Aj — X,, ..., \rj — Xn,

donnons à y les valeurs i, 2, 3, ..., /"et prenons pour x^, x,,, ...» Xn les parties entières de Ajj, A,y, ..., A„y ; les n nombres

sont tous positifs et moindres que /; chacune de leurs parties entières est l'un des nombres o, i, 2, ..., / — i ; si pour une valeur de y, toutes les n parties entières sont nulles, le théorème est vérifié. Sinon, puisqu'il y a /"valeurs de j, autant que l'on peut former de systèmes distincts en prenant n nombres dont chacun soit l'un des nombres o, i, 2, ..., / — i, il faut qu'il y ait deux valeurs y' , y" telles que les parties entières des nombres

l{Aj' — x[), /(A,/ — 0^^), ..., soient les mêmes que les parties entières des nombres

/(A,/-<), l{A^'-x^, ...; €n sorte que les nombres

i [K{y' - y") - K - Ol i\My' - y") - (^i - 4)]'-

sont tous moindres que i en valeur absolue. Rien n'empêche de supposer y' >> y' ; la différence positive y' — y" est alors moindre que /, elle est entière ainsi que les nombres x[ — x'[, xl — x\, ... ; le théorème est démontré.

Par exemple, en prenant A^ = -, A^ = -'-, / = 5. on trouve que les erreurs commises en prenant pour - et -- les deux frac-

/ia INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

tions ~, — -- dont le denommateuT commun est inférieur a 5-, sont moindres que p •

TI. — DIGRESSION SUR LES FRA.CTIONS COi^TINUES ARITIIMÉTIOUES

33. — La théorie des fractions continues arithmétiques fournit le moyen systématique d'obtenir les fractions les plus simples qui approchent le plus possible d'un nombre donné A positif ou néga" tif, mais non entier.

Etant donné un nombre quelconque A, autre que zéro, on obtient une première valeur approchée de ce nombre, en prenant sa partie entière a^ ; cette valeur est approchée par défaut ; elle est négative si A est négatif, nulle si A est compris entre zéro et un, positive si A est plus grand que i, l'erreur correspondante A — a^

est positive et moindre que i ; mettons-la sous la forme t-, en

sorte que 1 on ait A = a^ H- -r- .

Aj est un nombre plus grand que i ; soit «j sa partie entière, qui sera au moins égale à i ; a, est une valeur approchée par défaut de A], — est une valeur approchée par excès de .- ; par suite

a^ -^ est une valeur approchée par excès de A. Soit de même

Aj — tti = ^ ; A2 est un nombre plus grand que i ; sa partie entière a^, au moins égale à i, est une valeur approchée par défaut de A^ ; ai H est donc une valeur approchée par excès

de A^ et si, dans a^ ~+" i~ ■-^= A, on remplace Aj par une valeur

approchée par excès, a^ -\- —, on obtiendra une valeur approchée

CITAPITRK I. FRACTIONS CONTINUES /jS

par défaut de A, c'est à savoir

])c même en posant A^ — a^ = y ^1- ^^ désignant par a., la partie entière de A^, le nombre

sera une valeur approchée par défaut de Aj, et si, dans a^ -+- .- = A,

on remplace Aj par cette valeur approchée par défaut de Ai, oa obtiendra une valeur approchée par excès de A, c'est à savoir

On voit d'ailleurs que A peut être mis sous les formes

En continuant de la même façon, on ohtient une suite de nombres entiers a^, aj, a,, ..., an, ... qui, à partir de a^, sont au moins égaux à I, qui sont respectivement les parties entières des nombres

A — a/ "- Al — «/ ■■■' " A„i — «„i'

lesquels, à partir de A,, sont plus grands que i, puis une suite de fractions, dites fractions continues limitées,

Il I

'■ a. On

qui peuvent être regardées comme des valeurs approchées de A, alternativement par défaut et par excès ; le raisonnement précédent montre aisément que chacune d'elles est comprise entre celle qui.

la précède et celle qui la suit ; c'est un résultat qu'on retrouvera tout à l'heure. Les nombres Qq, a^, a^, ..-, a,,, ... sont dits quoiieiits incomplets; les nombres A, Ap A,, ..., A„, ... dont ils sont les parties entières sont les quotients complets correspondants ; toutefois, en comptant les uns et les autres, je laisserai systématiquement de côté soit a^, soit A ; a^ sera dit le n" quotient incomplet, ou le quotient incomplet de rang (ou d'indice) n ; de même pour A„. Dans une des fractions limitées précédemment écrites, si l'on remplace le dernier quotient incomplet, an par exemple, par le quotient complet correspondant A„, on reproduit le nombre A d'où l'on est parti.

Il est clair, d'après leur formation même, que les fractions continues limitées dont le dernier quotient incomplet est de rang (d'indice) impair sont des valeurs approchées par excès ; elles diminuent quand ce rang augmente ; au contraire les fractions continues pour lesquelles le dernier quotient incomplet est de rang pair sont des valeurs approchées par défaut, elles augmentent quand ce rang augmente. Ces résultats seront établis à nouveau, dans un instant.

La connaissance des premiers chitTres de la représentation décimale de A permet de calculer les premiers des nombres entiers a^, a,, a^, ...

Par exemple si l'on suppose A = ti = 3,iAi592653..., on trouve, en ne conservant à chaque division que des décimales dont on soit sûr ('), pour les quatre premiers quotients complets et incomplets

Aj = 15,996..., a^=i5,

'On ne pourrait être arrêté dans la suite des opérations que l'on vient de décrire que si l'on trouvait un quotient complet A„ qui fût

un nombre entier an ; alors l'expression t , dont le déno-

^ An an

minateur est nul, n'aurait plus de sens ; le nomijre A est dans ce

(') On sera certainement dans ce cas tant que, dans la division, le reste partiel auquel on est arrivé dépasse la partie écrite au cjuotient, regardée comme un nombre entier.

cnAi'irnE i. — fractions continues /|5\

cas, égal à la fraclion conliniic limitée.

et il est évidemment rationnel.

Inversement, si le nombre A = - est un nombre rationnel, les-

opérations par lesrpicllcs on détermine les quotients complets successifs sont les opérations même auxquelles donne lieu la reclierclie du plus grand commun diviseur entre les entiers/), q ; ces opérations se terminent et l'on finit par trouver un reste (égal à i sip, q sont premiers entre eux) qui divise le reste précédent; le quotient, certainement plus grand que i, est le dernier quotient an de la fraction continue ; on peut l'appeler aussi bien complet qu'incomplet. Puisqu'il est plus grand que i, on peut le remplacer

par a„ — i |- -, et l'on voit qu'on ipeul développer un nombre rationnel en fraclion continue de deux façons différentes, avec un. nombre pair ou impair de quotients incomplets ; les deux formes ne diffèrent d'ailleurs qu'à l'extrémité de la fraction continue. Par

exemple, pour la fraction — ^y, la suite des quotients incomplets est

3, 7, i6, ou 0, 7, i5, 1.

Si le nombre A est irrationnel, on pourra continuer indéfiniment les opérations et l'on trouvera ainsi une suite indéfinie de nombres entiers a^, a^, ..., a„, ..., suite qui est déterminée dès que le nomÔDre A est déterminé.

Il importe, avant d'aller plus loin, d'étudier d'un peu plus près la suite des fractions continues limitées qui correspondent à ces quotients incomplets.

34. — Nous avons d'abord à former certaines fonctions entièresou rationnelles des quantités

et à en établir des propriétés dans lesquelles il n'est nullement nécessaire de supposer que ces quantités sont des nombres entiers déduits de A comme il a été expliqué : dans ce numéro, les lettres-

46 INTUODUCTION A LA. THÉORIE DES FONCTIO>'S

■a^, ttj, ..., a,î, V.. désigneront, si l'on veut, des variables quelconques, formant une suite indéfinie ; on a alors

«11 1 (IM. -h I

Oq = ~ , «0 -i = -^^ '

" I rti a,

aj ' ^ («^,«1 -+- t) «.) -i- «o

a, -+- — rt.

[(fli/'i -f- 0 Oo -H «o] rtg -+- Ooflj H- I

On peut continuer ainsi et mettre les fractions qui figurent dans les premiers membres, que je continuerai à appeler des « fractions continues limitées » sous la forme du quotient de deux polynômes entii3rs en a^^, a^, a.^, ...

Posons

P„ = «o' Pi=«o«i-^i' i% = Pi«2 -t- Pc P3 = P,«aH-Pi'

les fractions continues limitées qui figuraient dans les premiers

membres sont respectivement égales à t." , ■— , r^, -r\ . Si l'on

^ Qu Qi- Q2 Q3

pose en général

(1) P„ = Vn—iCln -H Pn o, Qn = Q„i 0„ + Q„2,

ces formules, applicables pour les valeurs entières de 11 supérieures à I, déterminent de proclie en proche tous les polynômes P„, Q„, du moment que l'on prend pour P^, Pj, Q^, Qi les expressions précédemment écrites; les fractions rationnelles

portent le nom de réduites.

CIIAl'ITJiE F. I'«ACTIONS COMINUES /j 7

De même ([iic pour les qiiolienls complels ou iricom[)lels, je no

■compterai pas la rédulle "; la //" rcdiiile sera

V P , rt -I- P

^ Il ^ ;) — I "■n 1^ * n — -2

Je vais monli-er qu'elle est égale à la fraclion continue limitée ■dans laquelle le dernier quotient incomplet est a,^ ; cette proposition a été vérifiée pour les petites valeurs de ii ; elle s'établit par 'induction en montrant que, si elle est vraie pour les n — i premières réduites, elle est vraie pour la n'^ ; or la fraction continue qui se termine par a„ se déduit de la précédente en \ remplaçant a„i par a„i -+- — ; cette précédente est, par hypothèse,

Qn-2 a,i-l -t- Q«-3 '

égale à

la fraction continue suivante s'obtiendra donc en remplaçant dans cette expression a„.i, qui n'entre dans aucun des polynômes

P„2, P„3, Qu->' Qn-3, pai' rt,.-i -i ; on obtient ainsi, après

ame transformation immédiate,

(P„.2 a„-i + P„3) «„ -^ P„-, ï'«-i5'^'± .^^".-i ^ Tj* (Q„ ., a,j t -h Q„ 3) rt„ -h Q„ .. Q„ 1 a,, -+- Q,, ., Q„ '

ainsi qu'il résulte des égalités (i) et de celles qu'on en déduit en changeant n en n — i.

En éliminant a„ entre les égalités (i), on trouve

i nVn — 1 f n— 1 Qn = (1 « — 1 V/î - 2 f /i — 2 Q/i — ijj

il'expression ( — i)'' {P«Q«-i — P»- ] Q.,) ne change pas de valeur quand on change n en n — i, elle est donc égale à la valeur — i qu'elle prend pour n = i et l'on a

On tire aussi des égalités (i), (2) les suivantes :

( I\ Q„ -2 — P„2 Q« = (— i)" a„ ^ I :Lj3 "" — 2 , / j-j„ ^»

[ Q« Vn — 2 Qvi V?i —2

Enfin, si dans la dernière fraction continue limitée

J- n -T» — \ (In ~i ^n — 2

^71 ~ M»- 1 fin -H Qn-2 '

on modifie la seule variable a„ pour la remplacer par une autre variable A„, on aura en vertu des égalités précédentes

Vn— 1 A;'. "+" vn— 2 Vra— 1 (Vn— 1 A„ -f- (^„2) Qti — 1

35. — Supposons maintenant que les lettres a^^, a^, a-,... a,,,... désignent des nombres. La suite de ces nombres est supposée indéfinie et déterminée, c'est-à-dire que, à chaque rang-, se trouve un nombre déterminé. Supposons en outre C[ue les nombres a^^ a.^,..., an,.-' soient positifs; le nombre a^ peut être positif, nul ou négatif.

Les polynômes P„, Q„ deviennent des nombres que je continuerai de désigner par les mêmes lettres ; comme a^ ne figure pas dans les polynômes Qo, Qj,..., on voit que les A^aleurs numériques de ces derniers polynômes sont positives ; il en est de même pour les polynômes P„ si a^ est nul ou positif; tout cela résulte des formules (i) du numéro précédent, les mêmes formules montrent, dans le cas où a^ est négatif, que si P^ se trouve, comme Pq, être négatif, les nomferes V^, P3,..., Pn,... sont tous négatifs.

La relation

Vra V«-l ^« ~+~ V/2— 2

OÙ Q„, Qn— 1, Qn-2 sont positifs montre que la fraction ç~ estcom-