CHAPITRE V. CONVERGEiMCE UMIORME

défaut d'unirui'initc dans la convergence de la snile J\(.i:), fA-'')> ••■ Celle-ci est nnirormément convergente dans tout enscnriblc (\'), contenu dans (\), dont aucun point d'accumulation n'appartient à (8w), en particulier dans tout ensemble clos, contenu dans (\) qui n'a aucun point commun avec(8w)-

180. — Supposons que l'ensemble (X) des valeurs de ./; dans lequel les fonctions /'„ (./;) sont délermlnées soit clos. Si la fonction J], (x) est continue (n" 162) dans l'ensemble (\) et si elle converge uniformément (môme au sens large) vers sa limite /" (./■), celle-ci est aussi continue dans l'ensemble (X).

Soit en elTet £ im nombre positif quelconque; on [jouir<i, en raison de la convergence uniforme, lui faire correspondre un nombre naturel n tel que l'on ait, quels que soient les nombres X, X de l'ensemble (X),

puis, en raison de la continuité de la fonction fn {x), un nombre positif y;, assez petit pour que l'on ait

sous la condition \xl — :c | << "/;. Comme on a

\J{x') -Jix) I ^ !/(.■') -/„;x' . I -^ I/4X') -/„Gr) I + 1/, ::r) -J{x)\,

on aura, sous la seule condition que x' et x appartiennent à l'ensembh^ (X) et vérifient l'inégalité \x — x | <; y;,

La continuité delà fonction y" (a'), dans l'ensemble (X) est démontrée.

Ainsi qu'on l'a vu par un exemple, cette continuité n'est pas assurée par la seule continuité des fonctions /li (x).

Dans le cas, signalé plus haut, où la fonction limite f{x] fait partie de la suite y, (;/.'), y"^ (x), ..., le théorème précédent est un simple truisme.

De même l'inégalité

permet de montrer en supposant toujours que (X) soit clos et que la fonction y], (œ), continue dans (X), tende uniformémient vers sa limite /(a;), aussi continue dans (X), que, quel que soit le nombre positif £, on peut lui faire correspondre un nombre positif Vy et un nombre naturel n tels que l'on ait

l/«W-/(:0|<^ pourvu que x et x' appartiennent à l'ensemble (X) et qu'on ait

La proposition qu'on vient d'établir est très importante ', il importe toutefois d'observer que, lorsqu'on suppose lim./i (ce) =f{x),