CHAPITRE V. CONVERGENCE UMKOKME

comme vme fonction tic x définie par celte égalité dans l'ensemble (X).

On pourra dire, en entendant toujours que y s'approche de h en restant dans (Y) :

/(£c, y) tend uniformément vers sa limite f{x) si à chaque nombre positif c, quelque petit qu'il soit, correspond un nomjjre positif-/^ tel que l'on ait \f{x, y) — f[x) \ <Z s, pour tout système de nombres (x, y) dont le premier appartient à (X), dont le second appartient à (Y) et vérifie la condition | y — b\ <ir,.

A côté de celte définition, on pourrait, comme au n'' 179, placer une définition delà convergence uniforme « au sens large ». Au surplus, la plupart des propositions et considérations développées au n° 179 pourraient être reprises de ce nouveau point de vue, je ne m'y arrêterai pas et je me contente de signaler, en raison de sa grande importance, le théorème correspondant à celui du n" 189.

La fonction y (x, y) peut être regardée comme une fonction de X définie dans l'ensemble (X) pour trouver les valeurs de y qui appartiennent à l'ensemble (\). Supposons que l'ensemble (X) soit clos et que, pour chaque valeur de y appartenant à l'ensemble (Y), la fonction f[x, y), considérée comme une fonction de x, soit ime fonction continue de x dans l'ensemble (X). Si f{x, y) tend uniformément vers sa limite /i a;) quand y s'approche du point d'accumulation h de (Y) en restant dans cet ensemble, on peut affirmer la continuité de la fonction / {x) dans (X) . La démonstration est la même qu'au n° 180.

Inversement, si f{x, j) est une fonction continue des deux variables x, y dans l'ensemble (XY) dont les éléments sont les couples de valeurs de x, y qui vérifient les conditions A ^ x < A', B < y S B' et si, en regardant x comme un nombre fixe de l'intervalle (A, A'), on suppose que y, toujours assujetti à appartenir à l'intervalle (B, B') tende vers une valeur y^, appartenant aussi à cet intervalle, il est clair que l'on aura

lim./(x, y)=/(a;, y„),

et que y(a3, y) tendra uniformément vers sa limite /(j:, y^) pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle (A, A),

Tamnert I. — luti'Oiiuction à la théorie des fonotioDS 1^

puisque, en vertu de la définition de la continuité (n" 164) la diflerence f(x, y) — /(œ, y^) peut être supposée moindre en valeur absolue que tel nombre positif s que l'on voudra, pourvu que y — jo soit moindre, en valeur absolue qu'un nombre positif yj, convenablement choisi, et cela, quelle que soit la valeur de x, pourvu qu'elle appartienne à l'intervalle (A, A').

Laissons de côté cette généralisation, et revenons au cas de fonctions yi; {pc) déterminées dans un ensemble (X) pour chaque valeur du nombre naturel n.

182. — Considérons une suite infinie iii, 1I2, .., ihi, •■■ de fonctions de x dont chacune est une fonction déterminée de a? dans l'ensemble (X) et supposons que, pour chaque valeur de x appartenant à cet ensemble, la série

soit convergente : la somme de cette série pourra être regardée comme une fonction y (a?) déterminée dans l'ensemble (X) et cette fonction pourra être regardée, au sens qui a été expliqué au n° 179, comme la limite, pour n infini, de la somme

fn (œ) = «1 + «2 + ... + Un

des 72 premiers termes de la série, somme qui est déterminée dans (X). Soit d'ailleurs Rn =f[x) — Jn{x) le reste de la série limitée au 72° terme ; R„ est aussi une fonction de x déterminée dans (X).

La série (u) sera dite uniformément convergente dans (X) si à chaque nombre positif s on peut faire correspondre un nombre naturel p tel que l'on ait | R,i | << £ pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à (X) et pour toutes les valeurs du nombre naturel n supérieures ou égales h p. Si la série (m) est uniformément convergente^ il en est de même de son reste R„, considéré comme la somme de la série u,j^ ^ h- u^^o + •••» et cela quel que soit n.

On définira, si l'on veut, la convergence uniforme, au sens large, en disant qu'à chaque nombre positif s doit correspondre un nombre naturel n tel que l'on ait | R,^ (x) j -< s, pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à (X).

11 n'y a aucune différence, même au point de vue de la généralité, entre ces notions et celles que l'on a exposées au n° 179, puisque,