Soit

(a) tti + Og + . . . + 0^ -h . . .

une série convergente dont les termes sont des nombres positifs.

I. — Soit, comme plus haut [u) une série dont les termes Mj, u,^, ..., Il , ... sont des fonctions de x déterminées dans l'ensemble (X). Supposons qu'on ait | Wg^ | ^ ci^ pour toutes les valeurs de X appartenant à cet ensemble et pour toutes les valeurs du nombre naturel a ; on peut affirmer que la série [u] est absolument et uniformément convergente dans l'ensemble (X) : la convergence absolue de la série {ii) est évidente, l'uniformité de la convergence résulte évidemment de ce que le reste de la série [u) est, en valeur absolue, au plus égal au reste de la série (a), qui peut être supposé aussi petit qu'on le veut. D'ailleurs, cette proposition a été déjà énoncée, sous une autre forme, au n° 179, à propos des limites. Pourvu que les fonctions ii^, ii^, ..., soient bornées dans (X), la proposition subsiste évidemment si l'inégalité (u^) ^ a^ n'a pas lieu pour les premiers termes de la série, en supposant, bien entendu, qu'elle soit vérifiée par tous les termes, à partir d'un certain rang.

Si l'ensemble (X) est clos et si les fonctions' ii^, u^, ..., u^, ...

sont continues dans cet ensemble, il en est de même de la somme de la série (u).

II. — On a parfois à appliquer le théorème précédent dans un cas particulier^ sur lequel il convient de s'arrêter un peu, afin de voir qu'il est bien compris dans le cas général.

Conservons à la série (a) la même signification ; c'est une série convergente dont les termes sont des nombres positifs.

Supposons, en désignant par m un nombre naturel, qu'on veuille chercher la limite pour m infini, d'une somme

S (m) = Uj (m) H- v^ (m) -+- ... -h u^ (m),

dont chaque terme v^ (m) a, pour m infini, une limite v^. L'existence et la valeur de la limite apparaissent immédiatement quand r est un nombre fixe. Il n'en est plus de même quand le nombre naturel r dépend de m et croît indéfiniment avec m : pour indiquer cette dépendance je poserai /' = '-p {m) : on a, d'après la supposition précédente, lim. o (m) = -h 00 . Jl est tout naturel de

rechercher si la somme S [m) n'aurait pas pour limite, quand m croît indéfiniment, la somme S de la série

y. H- Ug + ■'-'3 + •••'

lorsque cette série est convergente. Mon but est de démontrer qu'il en est ainsi lorsqu'on a, quel que soit le nombre naturel a, V (m) I < a^. ce qui implique évidemment | l'^c | :^ ^^a-

Il convient d'abord d'observer que, jusqu'à présent, v^ (m) n'a, pour une valeur donnée du nombre naturel a, de sens que si m est assez grand pour que 9 (m) soit au moins égal à ry., ce qui finit toujours par avoir heu en vertu de l'hypothèse hm. 9 (m) r=:r ^- 00 ,

Afin que la fonction i'^ (/n) soit définie pour chaque valeur du nombre naturel m, je conviendrai de poser v^(m) = o pour toute valeur de m telle que ç; (7?ï) soit inférieur à a : cette supposition laisse évidemment subsister les conditions

lim. v^ (m) = v^, I v^ (m) \ S a^;

la somme S [m) apparaît alors comme la somme d'une série convergente dont tous les termes à partir de celui qui occupe le rang p — r rç) (^m), sont nuls. Nous nous rapprochons évidemment du théorème démontré clans la première partie du présent numéro. Considérons maintenant l'ensemble clos (X) dont les éléments sont