CHAPITRE V. CONVERGENCE UNIFORME

le nombre celles inverses des nombres naturels; cet ensemble (X) admet pour point unique d'accumulation le point o : posons,

pour ic =: — et pour toutes les valeurs du nombre naturel a,

y« ('») = "a (•*■)' puis lim. v^ (m) = v^ = u^ (o).

La fonction u [x] est définie dans l'ensemble (X), elle y est continue au point d'accumulation o ; on a d'ailleurs | ii^ {x) | < a^^ pour chaque nombre naturel a et chaque valeur de x appartenant à (X) ; le théorème I s'applique donc, la somme de la série {u), qui, pour

X = ~ , est égale à S (m), est une fonction continue de x dans (X),

sa valeur pour aj = o est la somme S de la série l'j, + y^ -H ... et il est bien prouvé qu'on a

lim, S (m) = S.

184. — Je vais donner immédiatement une application importante de la proposition I du numéro précédent aux séries de la l'orme

(i) «0 + a^x H- a.,x- ^- ... -+- fl„a-" -f- ....

qui ont, en analyse, une importance considérable : ûf,, a,, ..., a,,, ... sont des coefficients numériques et x une variable : on dit qu'une telle série est ordonnée suirant les puissances entières et positives de X ; on la désigne encore sous le nom de série entière en x, ou de série de Taylor. Lorsqu'elle est convergente pour toutes les valeurs de x, on dit que sa somme est une fonction (transcendante) entière de x (^).

Soit, en général^ a!n la valeur absolue du coefficient a,, de la série (i) : supposons que l'on connaisse un nombre positif A tel

(') Conformément à l'usage adopté par plusieurs auteurs, je supprimerai à 1 occasion i'épitliète « transcendante ». Il y a toutefois lieu de prévenir une confusion possilile : en disant série entière en .t, je ne supposerai pas que la série soit convergente pour toutes les valeurs de a; ; en disant fonction entière de X, je suppose essentiellement que la série (entière en x) qui représente cette fonction soit convergente quel que soit x.

que la série à termes positifs

soit convergente : on est sûr alors que la série (i) est absolument et uniformément convergente clans l'intervalle ( — A, A), où sa somme est ime fonction continue de x. Cette fonction peut se mettre sous la forme

(3) «0 H- a^x -\- ... H- o„ia;»-i H- a„x" -\- 6»;"+ ^

analogue à celle d'un polynôme : 6 désigne une fonction de x, donc on peut affirmer qu'elle reste, dans l'intervalle (■ — A, A) inférieure ou égale, en valeur absolue, à la somme de la série convergente

a'n + 1 H- «;, + 2 A -h aj, L 3 A- -h ...

On a insisté au n° 173 sur diverses propriétés des fondions de la forme (3) où Q reste, comme ici, inférieur en valeur absolue à un nombre ûxe. En particulier, on sait que deux expressions de celte forme, qui se terminent à une même puissance de x, ne peuvent sans être identiques terme à terme, être égales pour une infinité de valeurs de x voisines de o. On en conclut que deux séries entières en x, qui seraient toutes deux absolument convergentes pour X = A, ne peuvent sans être identiques, terme à terme, représenter la même fonction de x dans l'intervalle ( — A, A). C'est là une proposition qiie l'on complétera plus tard.