CHAPITRE V. CONVERGENCE UNIFORME 2g

dilc uniformément convergente, clans ce même ensemble, si à chaque nombre positif £ on peut faire correspondre un nombre naturel p tel que l'on ait, en désignant par /'„ (;/;, y) la somme des n premiers termes de la série proposée,

sous la condition n'^p, et sous les conditions (i). C'est ce qui arrivera, en particulier si, la série à termes positifs

étant convergente, on a^ sous les conditions (i), et quel que soit n,

Si la série proposée est uniformément convergente, dans l'ensemble (XY) et si, en outre, les fonctions ©„ (x, y) sont continues dans le même ensemble, la somme f{x, y) sera aussi continue dans (XY), et l'on pourra, à chaque nombre positifs faire correspondre un nombre naturel p et un nombre positif Tj tel que l'on ait

sous les conditions n^ p, \x' — œ | <C "//, | j' — J | <^ "'y ^^ so^'s les conditions (i).

La démonstration est la môme que pour les séries dont les termes ne dépendent que d'une A^ariable.

186. — -Il est à peine utile de dire que la considération des produits infinis donne lieu à des propositions toutes pareilles à celles qu'on vient de développer pour les séries.

Si u,, 11^, ..., Un, ... désignent des fonctions de x déterminées dans l'ensemble clos (X), et si, pour chacune des valeurs de x qui appartiennent à cet ensemble^, le produit

est absolument convergent, il définit une fonction de j;, déterminée dans (X), qui pourra être regardée comme la limite, pour n infini, du produit g,, (x) des n premiers facteurs du produit infini. Ce

296 OTRODUCTION A LA THÉORIE DES FO>'CTIO?JS

dernier sera dit uniformément convergent dans l'ensemble (X) si, à chaque nombre positif s, on peut faire correspondre un nombre naturel p tel que l'on ait,

pour toutes les valeurs du nombre naturel n >• p et pour toutes les valeurs de a? qui appartiennent à (X).

Si le produit est uniformément convergent dans (X) et si, dans le même ensemble, les fonctions ll^, 11^, ..., «„, ... sont continues, il en est de même de la fonction g {x).

Si, en particulier, on connaît une suite infinie de nombres positifs Oj, a^, ..., ttn, ..., tels que la série > «„ soit convergente, et que l'on ait pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à (X) \iin\ <C a„, on est assuré que le produit infini est absolument et uniformément convergent.

En effet le produit infini à termes positifs j | (i + an) est alors

convergent, et si l'on désigne par A„ le produit de ses n premiers facteurs, il est aisé de voir (n" 119) que, si l'on suppose m > n, on a I gm (x) — gn (x) | ^ A,„ — A„ ; on est ramené à la proposition du n" 179.

Par exemple le produit i |( i — -1] est absobunent et unifor-

mément convergent dans tout intervalle : il définit une fonction de X continue dans tout intervalle.

La proposition II du n" 183 a aussi sa correspondante ici. En reprenant les hypothèses et les notations de ce n° 183, on peut affirmer que le produit

a une limite el que cette limite est la valeur du produit absolument converg'ent

CIIAPITUI': V. FONCTIONS ELEMENTAIUDS 297

Les explications que l'on a données an n" 183 suffi senl à montrer que celle pro[)osition esl un cas parliculier de celle qui précède.