II. — FOINGÏIONS l-LEMEMAIRES

187. — 7\près avoir élabli ces propositions générales, je vais m'arrêler un peu sur quelques fondions parliculières, qui serviront d'exemples, et c|r.i tiennent d'ailleurs, en analyse, un rôle essentiel.

Considérons d'abord la série

^ ^ ^ I 1.2 l. 2 ... Il

on a vu au n" 95 que, si A était un nombre positif quelconque, la

série

était convergente. La série proposée est donc absolument et uniformément convergente dans l'intervalle ( — A, A), c'est-à-diie dans tout intervalle : sa sommey(£c) est une fonction continue dans tout intervalle. La règle de multiplication des séries permet (n" 115) de reconnaître que cette fonction jouit de la propriété

en sorte que la fonction f{x) est de la forme a' (n° 177), en désignant par a un nombre positif, que l'on déterminera en remarquant qu'il doit être égal à /"(i), c'est-à-dire à la somme de la série

Cette somme est un nombre que l'on désigne babituellement par e et qui joue un rôle considérable en analyse : on a calculé au n° 95 une expression approcbée du reste des séries de l'espèce con-

sidérée, et l'on conclut de suite de cette forme que l'on peut écrire

e=iH \ \- ... H -+-

6 étant un nombre compris entre o et i ; cette formule permet de calculer e avec telle approximation que l'on veut : on a

La même formule montre que e est irrationnel ; si en effet il était éffal à la fraction irréductible — , on aurait

mil I G

en multipliant les deux membres par i. 2 ... n, le premier devien-

drait entier ; le second se réduirait à - quantité qui ne peut jamais

être un nombre entier, même nul. On doit à Ch. Hermite d'avoir établi que e est un nombre transcendant, c'est-à-dire que e n'est racine d'aucune équation algébrique entière à coefficients rationnels.

Il résulte de ce qui précède que l'oa a

ces égalités, valables quel que soit x, sont particulièrement avantageuses quand on veut calculer e'' pour de petites valeurs de x. On voit par exemple qu'on peut prendre 0,9 pour valeur approchée de

— -p. , avec une erreur par défaut moindre que — - . 10/ ' ^ ^ 200

Je reviendrai bientôt sur cette fonction e^.