On appelle cosinus hyperbolique^ sinus hyperbolique
3lO INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS
tangente hyperbolique de x les fonctions définies par les formules
, shx e^ — e^^
ctiœ e^ -\- e~^
qui, en posant e"^ =zy, deviennent
ch ce := - ( y H — ) , sha: = - ( y — - )
Ûix
y> 2 Y yl J- ^- I
Les fonctions shx, cha:, th x sont continues dans tout intervalle ; en se rappelant que lorsque x croit de o à + X) , j croit de i à + ao , on voit de suite, que dans les mêmes conditions, cha? croit de I à H- ce , sha; de o à 4- co , th a; de o à i . Les formules
ch ( — x) = chj", sli( — x)= — shx, th( — x) ■=■ tlix,
achèvent de faire connaître la façon dont varient ces mêmes fonctions quand x est négatif.
Des définitions de ces fonctions on tire de suite les relations
e^ = chx+ shx, g — ■^= chx — shx;
d'oLi l'on déduit
gx + y -- (^chx H- shx) (chj + shj) = ch {x -{- y) -f- sh (x H- j). e~^~y = (chx — shx) (chj — û\y) ■= ch [x -\- y) — sh (x — y):
en ajoutant, retranchant, divisant membre à membre, faisant j; = — y, ..., on obtient
ch (x -h y) = chx chy -f- shx shj, sh (x + y) = shxchj -+- chx shj,
, , , thx -h thy
th X -h y) = — —T — TT^ , ^ "^ ' iH-thxtlij
I = ch-x — sh^x.
CIIAPITUE V. rONCTlONS KtJîMRNTA IKES -)[!
Notons encore les formules
dix = 1 -t h „- 4- ...,
sha;
I ^ 1.2.:^, ' i.ri.3.4.ô qui mettent aussi en évidence le sens de la variation de cli .x, sh.x;.
196. ■ — De l'étude des variations des fonctions sh.r, th.x', il résulte qu'il existe une valeur de x et une seule qui fait acquérir à la première une valeur donnée z quelconque, à la seconde une valeur donnée z comprise entre — i et H- i, ces >aleurs sont respectivement
los: ( 2 -H J ~J -H I ), log
Vr
en donnant aux radicaux la signification arithmétique : telles sont les fonctions inverses de shx, th .r ; ces fonctions inverses sont du même signe que r et croissent, de — x à h- x ^ quand r, pour la première, croit de — oo à 4- x , et pour la seconde, de — i à H- I. Quant à c\\x, il y a deux valeurs symétriques de x qui lui font acquérir une valeur donnée z, que l'on doit supposer jdIus grande que i ; la valeur positive est
en donnant toujours au radical sa signification arithmétique : on peut choisir la fqnction précédente comme étant la fonction inverse de ch X ; elle croit de o à -t- oo , quand z croit de i à H- x . Si l'on veut rappeler l'origine des fonctions de z
log [z + V^z^ + I ), log V'tÎ^-! ' log (z + /z2 I ]^
que l'on vient de définir, on pourra les désigner respectivement par les symboles
aslix, athcc, ach :c.
