Une méthode analogue à celle que l'on a suivie au
n." 189 pour obtenir l'expression de la limite de ( i -+- - ) peut
3l2 INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS
servir, ainsi qu'Euler l'a montré (*), à déduire des propositions les plus élémentaires de la trigonométrie les développements en série des fonctions cos x et sin x ; tout en suivant la même marche, c'est à un point de vue un peu différent que je me placerai.
On définit les fonctions sin x et cos œ, au début de la trigonométrie, par des considérations géométriques ; il y a un intérêt évident à introduire dans l'analyse le moins possible de données expérimentales, et il importe par conséquent de donner des fonctions sin x et cos x une définition qui repose uniquement sur la notion de nombre et n'emprunte rien à l'idée d'espace.
On établit encore par des considérations géométriques lus
formules
i cos [a H- 5) = cos a cos h — sin a sin h, (i)
/ sin (a H- 6) r= sin a cos h -t- cos a sin h.
Je vais montrer (en supposant d'abord leur existence) comment on peut déterminer toutes les fonctions continues ç ''ic), ^\i{x) qui jouissent des propriétés définies par les formules
( tp (a + 6) = cp (a) cp (6) — J; («) •]; {h), (2) (
' J; (a -h 6) = J; (a) cp (6) + iL (6) o (a),
et satisfont en outre à une autre condition qui sera introduite plus tard.
Sij après avoir élevé au carré, on ajoute les équations (2) membre à membre, on obtient
Cette égalité montre cpie la fonction f (x) = (d'^ (x) h- 'J;- [x) jouit de la propriété f {x -+- y) z^zz f {x) X f [y) ; si on exclut le cas où cette fonction serait identiquement nulle, on voit (n° 177) qu'elle est de la forme A'", ou, ce qui revient au même, e'^, g étant une certaine constante numérique.
Mais il est clair que, si les fonctions © [x), 'h (.r) jouissent des propriétés qu'expriment les équations (2), il en est de même des
fonctions e~'i^ cp [x), e~î'' <| (ce) : si l'on pose
e 1^- o {x) = cos X, e 'i'' 'l (a;) = sin x,
(1) Introduclio in analjsin infinitoniin, § 134.
CIIAPITKE V. FONCTIONS EIJiMKN TAIIUCS
en désignant par ces x et sin x tics fondions dont on sii[)[)Osc seulement qu'elles sont continues et qu'elles satisfont aux équations (i), on devra, à cause de la relation '>'■' (;/;) -H 'b'^ [x) = e»', avoir ^3) sin^ X -f cos^ X == I ;
tout revient à déterminer les fonctions inconmies sin x et cos x par les relations (i) et (3). Si d'ailleurs on fait 6 = 0 dans les équations (i) et que l'on résolve par rapport à cos o et à sin o les équations que l'on obtient, on trouve cos 0=1, sin o r^= o ;
., . . T • 1 sin ./: ,
j ajoute mamtenant cette condition que le rapport - , quand on
fait tendre x vers zéro, ait l'unité pour limite.
L'application répétée des formules (i) conduit, par un procédé bien connu, aux relations suivantes :
cos(« + b -\- ... + /j = cos a cos 6 ... cos / [ 1 — i:^ +- -4 — ...]• sin (« -f- 6 H- ... -(- l] =-■ cos a cos 6 ... cos / [x^ — X.^ + S.. — ...]»
où, en supposant Igx mis pour abréger à la place de , on regarde Z,, S^, Z3, ..., comme la somme, la somme des produits deux à deux, la somme des produits trois à trois, .. , des quantités tga, lg6, ..., tg/; en supposant les quantités a, 6, ..., / en nombre égal à m, en les prenant toutes égales et en remplaçant
ce enfin a par — , les formules précédentes deviennent (^) :
. xV I x's'*
"lis— ) . > , „ . 1 mtg-j
cos" —
I \ \ ^ ml / I 1 '- — ■ ' • —
mj \.-i \ inj\ injy m 1.2. '6.
m\s — . ^ , ml" —
cos
■ -lU.-^'^^- 3^^- ''
mis —
inj V m/ \ ml \ m' i. 2. à. li.5
(') Ces formules, à la vérité, n'auraient pas de sens si cos - était nul ; mais on va l'aire grandir ni indéfiniment ; quel que soit ,r, le nombre - 6nit par de-
3l/i INTKODUCTIO>' A. L\ THÉORTE DES FONCTIONS
Les seconds membres, quand on y remplace — par z et m tg — par II, deviennent respectivement
«P(î.„) = ?-(l-,.)(l-2:)-J^ + (,-:)(l-3--)(,-3:)(.-4.)-^ij-5
si z représente l'inverse d'un nombre naturel, les développements ainsi obtenus sonl essentiellement limités : mais rien n'empêche de regarder z comme étant quelconque, les développernents qui figurent dans les seconds membres comme des séries contenant une infinité de termes qui suivent la même loi que les termes écrits, et •i» [z, u), W [z,u) comme les sommes de ces séries, pourvu qu'elles soient convergentes : en regardant c comme l'inverse d'un nombre naturel, ces séries se réduiront aux développements limités que l'on a particulièrement en vue. Or, il résulte du n" 189 que si l'on désigne par A, B, des nombres positifs quelconques satisfaisant à la condition /VB <^ i, les séries $ (r, u), W {z, u) seront absolument et uniformément convergentes, et représenteront des fondions continues des deux variables z, ii dans l'ensemble (ZU) dont les éléments sont les couples de valeurs z, u qui vérifient les conditions I 2 I ^ B, 1 u I ^ A ; si z tend vers o et a vers une limite x, les fonctions 0 {z, u), W {z, u) tendrontrespectivement vers des limites que l'on obtiendra simplement en remplaçant dans les séries :: par o et « par x, et qui seront
Or, quand m croît indéfiniment par valeurs naturelles, r = —
tend vers o et
tg;.x sin zx
venir très pelit, et jDar conséquent cos — linit par être très voisin de i, puisque cos X doit être une l'onction continue de x et c[ue l'on a cos o = i.
cnAPirrtK v. — l'ONcriOiNS la.nMKNTAiKHS 3i5
Icnd vers ./; puisque le premicf laclcur- du deinicr membre tend par hypothèse vers j , cl (juc le second l'aclour lend vers ./; en vertu de la continuité de la fonction cos ./;, ([ui d(jit se réduire à i pour
ce == o.
On doit donc
avoir
lim.
cos X
cos'" — m
lim.
sm X
/?( = -jj
cos'" m
