TT^ + 1T2T

I ' I.2..) [.a.3./|.5 Il est maintenant aisé de prouver que l'on a

cos"' — m

En effet les relations (i) et (3) fournissent aisément la relalion

cos a = I — 2 sin' , d'où l'on déduit

X V . ,:xl

5"' -- = I i — 2 sm- — ml 2 Ji

en remarquant que le rapport

. ^ zx . zx

$\n^ — sm —

2 2 [ . zx 9 =: X sin —

z zx ' "

a pour limite o quand r tend vers o, et en se reportant au théorème du n" 190, le résultat annoncé ressort immédiatement.

Si donc il existe des fonctions continues cos x, sin x vérifiant les équations fonctionnelles (1), (o) et satisfaisant à la condition

lim. s"^ ■'' ^ j

elles doivent être définies par les formules ( , . x^ x''

[ V [^) — - — yj:^ + 1.2.3.4.5

3l6 lNTRODUCTIO?i A LA THÉOlllE DES FONCTIONS

et il ne reste plus qu'à montrer que les fonctions ainsi définies, satisfont effectivement à ces conditions. On a d'abord

La série qui figure dans le second membre est absolument et uniformément convergente ; elle est donc continue pour toute valeur de X, en particulier pour o, ce qui montre que le premier membre a pour limite l'unité quand x tend vers o. ^Notons en passant que cette proposition entraîne la suivante :

Si a, h sont des constantes quelconques, dont la seconde n'est pas nulle, on a

lim. '^ C«^) «

: o <h {px) h '

en vertu de l'égalité

^ {ax) a <\> (ax) bx

<]/ {bx) ~ b ^ ax ^ ^ [bx)

L'application de la règle pour la multiplication des séries aux fonctions © (j;\ d/ (x), permet de vérifier sans peine les formules

Je ne m'arrêterai pas à développer ces calculs, d'autant qu'ils sont aisés et qu'on aura plus tard l'occasion de déduire ces formules de la définition de (D {x) et de d; (x) par une autre voie. Je me bornerai à montrer comment on peut établir la périodicité des fonctions © (ce) et 'J; (x) en partant des formules (3) et (4). Il faut tout d'abord arriver à la notion du nombre tî.