n — 2) |^ ~ [[\n — x) AnJ

on voit que toutes les quantités entre crochets sont positives pour .T = 2 et l'on constate que, pour la même valeur de x, la quantité

x'- x^ I — — H- .^ est négative : on en conclut s f 2 1 < o. La fonction ç; {x),

continue et décroissante dans l'intervalle (o. 2), positive pour .T = G. négative pour ./; = 2. admet donc une racine et une seule

comprise dans cet intervalle ; désignons la par -• La formule

montre que l'on a

et la supposition 'b ^'j = i doit être exclue puisque la fonc-

3l8 INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

tion d» (œ) est positive entre o et 2. Les formules (3) donnent ensuite

? (^ + ^) = — 'l' (^)' '^ ("^ + J) — ï H' d'où

Ci (a; H- tt) = — 'M a: H- - j •= — cp (a:),

(L (a; + tt) == 4- -^ / X + - j =r — J; (œ), ç (a; + 27:) = cp (a;), (L (a? + 27i) = d> (x), etc.,

D'ailleurs les séries mêmes qui définissent (p (x) et ^ (x) montrent que © {x) est une fonction paire et 'J> (x) une fonction impaire, c'està-dire que l'on a

par suite, les formules précédentes, par le changement de a: en — x, donnent

a" I = — il ( — x) ^^ <ii (a;) , =: cp ( — x) = o [x) ;

de même

cp (371: -

- a;) = cp (a-),

cL (tt — x] r= J; (a;),

'Il (27: — a") = — <li (a;).

De ces diverses formules, et de ce fait, établi plus haut, que la

fonction © {x) décroit de i à o quand as croît de o à -, on déduit

sans peine la façon dont varient les fonctions ç [x), (| (ïc) ou cos x, sin X, quand x varie dans un intervalle quelconque.

De la périodicité de ces fonctions, il est aisé de conclure qu'elles ne peuvent être des fonctions algébriques de x.

Cette périodicité montre aussi, lorsque x tend vers -h 20 , ou vers — ce , que ni cos x, ni sin x ne peuvent tendre vers une limite.

Enfin les propositions établies aux n"^ 30 et 31 montrent que si

le rapport — est irrationnel, on peut trouver des nombres entiers aussi grands qu'on le veut, ?n et n, tels que l'égalité ma — 2nz = b

(jrfAPlTIU; V. l'ONCniONS ÉLlhlFCNTAlHES .iKj

soil vrridéo avec ra[)[)foxiinalioii ([n'uii vciil : 11 en sera de niènHdes égaliU's cos ma — cos h, sin ma = siii h. Il on résulte, en particulier, que lorsque m croît indéliniincnt par valeurs entières, ni cos ma, ni sin ma ne peuvent avoir de limites lorsque a est incommensurable à K.

199. — De ce que cos ,â est une fonction continue et décroissante dans l'intervalle (o, tt) et qui varie de + i à — i, il, résulte que l'équation en y

admet, lorsque x appartient à l'intervalle ( — i, i), une racine et une seule appartenant à l'intervalle (o, tt) ; cette équation définit donc y comme une fonction continue et décroissante de x dans l'intervalle ( — I, i); la valeur de cette fonction, qui sera désormais représentée par arc cos x (arc dont le cosinus est x), est toujours comprise entre o et ;:, bornes qui sont atteintes pour ./: = i et x = — i; toutes les solutions de l'équation (i) sont d'ailleurs données par la formule

y =z ■jUTi zh arc cos x.

Il étant un nombre entier quelconque.

On verra de même que, x étant toujours supposé appartenir à l'intervalle ( — i. i)» l'équation en y

(2) '^ (y) =" sin y =: X

admet une racine et une seule comprise entre — 9 ^'"^ Ô' ^^^^^ équation définit y comme une fonction continue et croissante de x dans l'intervalle ( — i, i) ; la valeur de cette fonction esl toujours

comprise entre — 7 et + -; ces bornes sont atteintes pour x= — i et £c ^= + I ; on représentera cette fonction par arc sin x (arc dont le sinus est x) : toutes les solutions de l'équation (2) sont données par les formules

y = amr + arc sin x, y =: (2/1 +1)- — arc sin x, n étant un nombre entier positif ou négatif.

On établira sans peine les formules arc sin ( — x) + ai'C sin x ^^ o, arc cos x + arc cos ( — x)

arc sin x -h arc cos a; = -

Enfin la fonction tg x se définit par la formule

<V (^) sin x

tg X = -~- = ;

° cp [x) cos a;

les variations de cette jonction se déduisent sans peine des variations de sin x et de cos x ; elle croît de — oc à + co quand

X croît de — - à - ; elle est continue dans tout intervalle auquel

n'appartient pas un nombre de la forme (an -h i) -, n étant un nombre entier positif ou négatif. L'équation en j

(3) tg j = X,

admet, quel que soit x, une racine et une seule comprise entre

et - ; cette équation définit y comme une fonction continue et

croissante de x dans tout intervalle ; cette fonction, dont la valeur est toujours comprise entre et H — , se représente par arc tg x

(arc dont la tangente est x) ; toutes les solutions de l'équation (3) sont fournies par la formule

y z= TiTz -j- arc tg x.

Il étant un nombre entier positif ou négatif; on a

arc Ig ( — x) + arc tg .'c = o, quel que soit x, et

arc to- X -+- arc ta- - ^ ^ X

suivant que x est positif ou négatif.

Il n'y a maintenant aucune difficulté à établir les formules de la trigonométrie élémentaire, que je supposerai acquises désormais.