CHAPITRE V

FONCTIONS KLKxME?«T AIRES

nouvelles et importantes expressions pour les fonctions trigonométriques (*).

On a vu au n" 196 que les quantités

cos" -

sont des polynômes par rapport à la variable z = \§ ~ . Si, par

exemple, n est impair, le premier polynôme est de degré n — i, le second de degré n ; les racines du second sont les valeurs de z pour lesquelles sin x s'annule ; on les obtient en donnant à a, dans

rj.TZ

l'expression tg ^- = 2:^, toutes les valeurs entières qui vont de

; en décomposant donc en facteurs le polynôme

considéré (n" 173), on aura la relation

^=An(-----,)=A.n(='-

cos" -

A est une constante dont on détermine immédiatement la valeur en divisant les deux membres par z = tg - et en faisant tendre x vers G. On parvient ainsi à la relation

cos" n

et l'on a démontré la seconde des deux formules qui suivent ; la première s'établit de la même façon ; dans les deux on suppose impair le nombre /i = 2 /n H- i .

cos" — n

to-^t

cos" n

X ^ Il

(I) EuLER. — Iiitrodixciio, etc., § 178.

Tannery I. — Inlroduclion à la Uiooi'ie des fonctions

Je regarderai dans ces formules x comme une constante, en excluant, pour un moment, le cas où x serait un multiple impair

de-, afin qu'il n'y ait pas de valeur de n pour laquelle cos -

soit nul et les formules privées de signification.

On va maintenant supposer que n grandisse indéfiniment : les premiers membres tendront respectivement vers cos x et sin x. Considérons la seconde formule par exemple, ou plutôt le produit de m facteurs,

n -if}

Il est tout naturel de lui appliquer le théorème du n° 186, analogue, pour les produits, à la proposition II du n" 183- Le nombre

r est égal à m = — ; — , la quantité L'a (/») est

+ 2 ^ tg2 -

dont la limite l'a, pour m ou n infini est

a-Ji-

Enfin, la série > ~^^^ a ses termes positifs et est convergente.

Ot= I

Pour être sûr que le théorème s'applique, il suffit d'avoir une série convergente^^ «x dont les termes soient des nombres posili(s, tels que l'on ait

tg2 £

tg —

au moins à partir d'une certaine A^aleur de a ; on peut prendre

CIIAI'ITIŒ V. FO>'CTIO?<S JiLEME^CfAinES

■en désignant par ). une constante que l'on dclciminc par la condition