OU

to-2

■celte condition sera certainement vérifiée si Ion a

puisque — est un nombre positif, plus petit que - , et que l'on a par

conséquent, tg — > — (^). Or, pourvu qu'on prenne /. >■ i, l'inégalité finit par être vérifiée à partir d'une valeur 2M -+- i de n, comme on le voit en l'écrivant sous la forme

et en se rappelant que le second membre, quand n augmente indéfiniment, a une limite égale à i.

L'existence de la série ^ Oa étant établie, il n'y a plus qu'à appliquer le théorème que l'on a rappelé tout à l'heure, et il est clair que l'on parvient ainsi à la relation

lim.

en se reportant à la signification du premier membre, en changeant X en ~x et en remplaçant a par n, on voit qu'on a établi la seconde des deux formules qui suivent ; la première s'établirait de la même façon :

Il = JO 1^

COS T.X =z

, sin T.x = T.x \l [^ — ~i

(1) L'inégalité tg x > x, pour x positif, plus petit que - est bien connue Ju

A la vérité, si l'on se rappelle la restriction faite au début sur la valeur dex, on voit que la seconde formule n'est établie que lorsque x n'est pas un multiple impair de - ; mais le dernier membre est, comme le premier, une fonction continue dex dans tout intervalle : si l'on fait tendre x vers une valeur exclue, les deux membres ne peuvent tendre que vers une même limite, La seconde égalité est établie dans tous les cas (').