CHAPITRE V. FONCTIONS KIJCMENTAIUES

en y faisant x = avr + h et en faisant tendre h vers o, on voit de

suite qu'il tend vers — -^ : on a donc Aa = —, puis

n cos- — ;i

a-n: X , «^ „— I /î cos^ — Ig - Ig —

OU, en mettant à part la fraction qui correspond à la valeur a = o, et en réunissant les fractions qui correspondent à deux valeurs symétriques de a,

^ 2/1 tg -

sui X , X ^^ / . aTiX- o a~ / , •''"

71 te- ot — I 'î sin — — cos- — n te- -

En posant n = 2/?î + i, et

I cos X

, X sin a:

2n tg - ° /i

on peut encore écrire

/i sui — ■ — cos- — I /i tir n I I

la première expression de S (m), montre que la limite de cette

quantité pour n ou m infini est — ( — — -■ — ^ ) ; quant à la seconde

i ■ i 2.r \ J-. sin xf ^

elle est préparée pour appliquer la proposition II du n" 183 ; le nombre r est ici égal à m, et l'on a

n sin — — cos- — ;; te; -

Il / Il \ "- n,

i'a = lim. i'« (m) = -^

326 lNTRODUCTIO>r A LA. THÉORIE DES FONCTIONS

X doit, comme dans le numéro précédent, être regardé comme un nombre fixe.

On exclura les valeurs de x qui seraient des multiples de - afin

d'éviter, d'une part, les valeurs de n qui rendent tg - infinie, et, d'autre part, les termes infinis dans la série ^ y^^, laquelle, pour

les valeurs ds x autres que les multiples de tï, est absolument convergente.

L'application de la proposition II du n" 183 conduira évidemment à la formule

a =^ co S = lim. S„, = >

cette application sera légitime dès que l'on aura prouvé l'existence d'une série convergente ^ a^ dont les termes soient des nombres

positifs, tels que l'on ait, au moins à partir d'une certaine valeur de a, I Ux {m) s a^.

Observons d'abord que, lorsque .r est compris entre o et - , — — - est

plus grand que i — -,.- et par suite que - ; il en résulte que l'on a,, quels que soient les nombres naturels /i et a ■< -,

Puisque n tg - a pour limite x quand n augmente indéfiniment,^

il existe un nombre positif impair aM H- i tel que l'on ait sous la condition m ^M,

(«tgï)'<.M.

en désignant par A un nombre supérieur à [ a- | .Si donc on ne considère que des valeurs de m supérieures à M, on aura

n sni — — cos- — /i to- - >. - A-,

CIIAPIÏHE V. FONCTIONS LI.ÉMENTAIUES .)2J

le premier membre sera, a fortiori, plus grand que ).a--', pourvu que l'on ait "^^ <.t — ~2~i- Supposons qu'onait détermine un nombre naturel |'3 tel que le second membre de cette dernière inégalité soit positif, pour a = fj, et qu'on choisisse X inférieur à la valeur de ce second membre pour a =- ^-j, l'inégalité subsistera pour a > fj. Dans ces conditions, en supposant m >- M, a > j'B, on aura

et l'on pourra donc prendre a^ = y^^iZ-i ■ L'application de la proposition n du n" 183 est légitimée et il est par là même démontré que l'on a

2x \x ts xj "^^ a--- — X'

c'est, sauf le changement de x en xx et de a en n, la première des formules qui suivent ; les autres s'obtiennent de mêmeparladécomposition en éléments simples des fractions rationnelles en z qui sont

cos" respectivement égales aux quantités -^ — — — ' et par 1 application de la même proposition. Les seconds membres sont des séries absolument et uniformément convergentes dans tout intervalle qui ne contient pas une valeur de x qui rende un terme infini. Dans un tel intervalle la série qui figure au second membre est une fonction continue de x. Le fait que la première formule par exemple, subsiste pour les valeurs de x qui sont des multiples impairs

de -, exclues dans la démonstration, résulte de la continuité.

t: cot T.x = -

- to- -KX

I "^ { l)"2JT

Au reste les deux dernières formules se déduisent très simplement de la première, en se servant des relations

tg

nx

col

-RX

2 cot 2TiX

cot

cot TIX ('),

si a

202. — Les formules que l'on vient d'établir sont très précieuses parce qu'elles metlent en évidence des propriétés des fonctions sin X, cos X, tg X qui n'apparaissent pas, au moins de suite, sur les séries que l'on a prises comme définition.

Considérons, par exemple, la formule

ûa^x=^x Y[ (ï -^J;

tout d'abord elle met en évidence les valeurs de x pour lesquelles sin X s'annule ; elle permet aussi, pour une valeur donnée de x, de reconnaître le signe de sin tcx ; si, en effet, on suppose x positif et si l'on désigne par p la partie entière de x, on pourra écrire

\n.x = T.xl[ (i-^)x n

tous les facteurs du produit infini sont positifs ; ce produit est

lui-même positif; les /) facteurs qui figurent dans TT

sont négatifs ; on voit donc que sin nx est du signe de ( — i)p ; en s'appuyantsur ceque la fonction sin ûx est impaire, on voit aisément que ce résultat est vrai, quel que soit le signe de x, pourvu que p désigne la partie entière (positive, nulle ou négative) du nombre x.

(1) J'ai reproduit clans l'introduction des Eléments de la Théorie des fonctions elliptiques (t. I, p. loi), une autre démonstration, due à M. Darboux, des formules établies dans les deux derniers numéros, et même de formules plus générales. Cette démonstration est particulièrement adaptée au cas où la variable x est imaginaire.