CHAPITRE V. FONCTIONS ÉLÉMENTAIKES

' La périodicité de la fonction sin r.x, qu'il a fallu quelque effort pour établir au n° 198, s'aperçoit sans peine sur le produit infini, qui montre que sin tt.x est la limite, pour n infini, du produit

en changeant dans cette formule x en x -^ i, on trouve de suite

Pn(.-f) ~'~~ n — x/

La limite du second membre, pour n infini, est — i ; on a

donc

sin Ti{x -\- i) = — sin -kx

et, par conséquent,

sin TC [x H- 2) r= sin r.x :

Ainsi la fonction sin rx se reproduit quand on y remplace x par a: + 2.

Des conclusions analogues s'obtiendraient évidemment sur le produit infini qui donne l'expression de cos ttx. Je me borne à remarquer, sur ce produit infini, qu'il met en évidence le sens de

la variation de cos nx quand x croît de o à - ; en effet, on voit de suite que, dans ces conditions, chaque facteur du produit infini est positif et décroît ; on en conclut aisément que le produit infini

est lui-même positif et décroissant ; quand x croît de o à -, cos r.x décroît de i à o. De la périodicité de cos TiX, et des formules

cos izx = cos 71 ( — x), cos 71 (i — x) =r • — cos 7t:/-,

qui résultent très aisémant de la considération du produit infini, on déduit ensuite sans peine le sens de la variation de cos t.x, et par suite de sin tïx, dans n'importe quel inteivalle.

Sur l'expression de sin kx on reconnaît aussi que la fonction

—^^ — , à laquelle on peut pour x = o attribuer la valeur i , décroît quand x varie de o à i .

INTRODUCTIOX A LA THEORIE DES FOT^CTIONS

Sans doute tous ces résultats sont bien familiers au lecteur ;. peut-être était-il cependant utile de lui montrer, sur un exemple simple, comment certaines propriétés des fonctions se groupent en quelque sorte autour de certaines expressions de ces fonctions. Les considérations si aisées que je viens d'indiquer à propos des fonctions circulaires s'appliquent d'ailleurs à des fonctions plus compliquées.

Je ferai encore, sur l'expression de cot Tix comme somme d'une infinité de fractions rationnelles, une observation qu'il serait aisé de répéter, en faisant les changements convenables, sur les expres-

sions de sin tix, cos tîx, -^ , i^

sm Tix °

finis ou sommes de fractions rationnelles

En remplaçant

-> par

, tg Ttx, ... comme produits in- - , on voit qu'on peut

écrire

TT cot tZX

= lim.

n •= ce

lim.

mais les séries dont les /)"' termes sont ^

gentes, il faut bien se garder d'écrire (n° 101).

étant diver-

■K cot T.X= 2 — p=—CC

p = co

p = co

"^ Âj X — p' p=i

j'aurai l'occasion de montrer plus tard comment ces formules, qui sont dénuées de sens, peuvent être remplacées par d'autres qui s'en rapprochent beaucoup, mais dont l'emploi est légitime, et comment l'expression

jiLi X -^ p -^ X — p

CIIAPITUE V. FONCTIONS KLIOMEN'TAIUES OOl

peut tendre vers telle limite qu'on veut quand n et m grandissent indéfiniment.

203. — J'appliquerai encore le théorème II du n° 126 u la démonstration de l'identité

-'x) JJ (\ +ry2"-

Il =■- 1

où ([ désigne un nombre plus petit que r en valeur absolue et x un nombre quelconque, autre que o. Les règles que l'on a données dans le chapitre m permettent de reconnaître immédiatement que les produits infinis et la série qui figurent dans les deux membres sont absolument convergents.

Soit, en désignant par /' un nombre naturel quelconque,

/„(,r) = (!-}- qx) (i + ry\r) ... (i -+- ry^"- '.r)

X (i + ryx-i) ([ 4- ry^.r— ') ... (i ^f—Kr-%

Il est clair que l'expression fn (j?) peut se mettre sous la forme

y"(,r) = Oo 4- f/i (ic + a? — 1) + «2 C^' + ^ ~ ^) + • • • ■+ "« (•'"" + ic - ")»

où «0, ai, ..., an sont des polynômes en q que je vais d'abord déterminer ; on aurait pu aussi bien écrire

en convenant de supposer aa = a a. On a évidemment a» = fj"' . En changeant x en ^'-£C dans la première expression de /'(j;), on parvient de suite à la relation

(i) {q:c + rf')fn{rf-x) = (1+ r/'^" + ^r) /„(.'),

qui, en remplaçant f n{x), fn i^'x) par leurs expressions ordonnées suivant les puissances de x et égalant dans les deux membres les coefficients de a;^, fournit une relation entre cix etoa-u à savoir

a, = Oa . Q "' ^ r^rr;

d'où l'on déduit

et, en particulier pour a = n, en se rappelant que a„ est égal à q"^

— vy (j ci'n-vt^^ (i ^2n + 4)...^i —</'")

et, par suite

On reconnaît de suite que le second membre garde la même valeur quand on change a en — a.

Regardons maintenant ^ et £C comme des nombres donnés ; dans l'égalité

/„ (x) = a, +a, (x + 0- - 1) + a, {x' + x - 2) .... + a,, (rr« ■+ x' "),

où tto, tty, ..., an ont les valeurs que l'on déduit de l'expression de ciy. en y faisant a = o, i, ..., /i, faisons tendre n vers H- 00 ; dans l'expression

le dénominateur a pour limite la valeur du produit convergent TT (i — ry-"), et la limite du numérateur est i, à cause de la

convergence du même produit ; on a donc

lim. \a^ (x^ + a- - «) ] =: 2^^

^''/^»i ^-3CN

et l'on sera certain que la limite, pour n infini, dey^j [x) est la somme de la série dont on vient d'écrire le terme de rang a + 1, dès que l'on connaîtra une série convergente

A^ 4-- Al -+- .. + Aa + ....