CHAPITRE V. lOT^CTIONS ÉLÉMENTAIRES

dont les termes soient des nombres positifs, tels que l'on ait, pour toutes les valeurs de n et de a,

en désignant par a;' et (/ les valeurs absolues de x et de 7 il sufTira de prendre

Il =x

Aa = r/- ^^ {x'- + x'--).

Il (^ - ^/

Il est donc bien démontré que l'on a

en posant

l/(.r)= lim. fnix)= U (i+q^-'Kr)X JJ (1 + ry^" - '.r - ')

Voici quelques propriétés de la fonction /(.r) ('), ou de la fonction ^ q"'^x", qui n'en diffère que par un facteur indépendant dea^ :

(') Cette fonction joue un rôle considérable dans la théorie des fonctions elliptiques ; et c'est dans cette théorie que la portée de la proposition précédente apparaît nettement : Voir, par exemple, le tome II des Éléments déjà cités, qui est presque entièrement consacré à cette fonction, et qui est loin d'en contenir toutes les propriétés. La démonstration qu'on vient de lire, qui est due à M. BiEiiLER, mais dont le principe appartient à Cauchy, s'y trouve page lo.

ces propriétés résultent immédiatement de l'analyse précédente.

La fonction /(ic), définie pom- toute valeur de x autre que o, est continue dans tout intervalle qui ne contient pas o : elle ne

change pas quand on change ce en-.

On a

qxfi^rfx) = f{x),

comme il résulte de l'égalité (i) en faisant croître n indéfiniment. La fonction /(x) s'annule pour x = — cf ~ ^ en désignant parp un nombre entier positif, nul ou négatif, et ne s'annule que pour ces valeurs de x.