I. — DEFINITIONS. CALCUL DES DÉRIVÉES

204. — Lorsqu'on veut étudier la marche d'une fonction donnée /(ce), continue dans un intervalle [a, b), il est naturel de comparer les variations de la fonction aux variations de x, et de considérer les rapports tels que

où Xq, Xi sont des valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle considéré et où le dénominateur Xi — x^, le numérateur f{xi) — /(-^o)' peuvent être regardés comme les accroissements respectifs de la variable x et de la fonction /(ôc) quand on passe de la valeur Xq à la valeur Xi. Un tel rapport est, en quelque sorte, l'accroissement moyen, ou, si l'on veut, le taux de l'accroissement, quand on passe de la valeur x^ à la valeur Xi. Observons de suite que le polynôme du premier degré en x

qui prend pour x = x^ et x = Xi les mêmes valeurs que la fonction /(x), est une fonction de a; qui a le même accroissement moyen que la fonction /(jc).

Imaginons, en supposant a <i b, qu'on ait partagé Tinter-

valle (ai b) en intervalles partiels, en intercalant entre a et 6 des nombres croissants et supposons, par exemple, qu'on ait

a = a^o < crj < o"^ ... < .r„ j < a',, = 6.

On peut, en intercalant entre a et 6 assez de nombres suffisamment rapprochés, faire en sorte que, dans chaque intervalle partiel, l'écart de la fonction y (a?) soit très petit (n° 162) : si donc on considère une fonction F (a?) , dont la valeur, lorsque x appartient à 1 intervalle [xi, Xi.<^ i) [f = o, i, a, ... n — i], soit égale à celle du polynôme du premier degré en x

cette fonction F {x), qui est évidemment continue dans l'intervalle (a, 5), et qui coïncide avec f{x) pour les valeurs x^, Xi, ..., x„ de X différera toujours très peu de f{x) ; elle pourra être regardée comme une expression approchée de/(j;), pourvu que les intervalles partiels soient suffisamment petits.

Si l'on se place au point de vue géométrique qui a été expliqué au n° 172, et si l'on convient de regarder comme une courbe, représentative de la fonction f{x), l'ensemble des points du plan dont les coordonnées x, y vérifient l'équation y z= f[x), lorsque x varie de a à 6, la substitution de la fonction F {x) à la fonction f{x) reviendra à substituer à celte courbe la ligne brisée dont les sommets successifs sont les points dont les coordonnées sont respectivement aj^,, jo ; Xi, ji ; ... ; Xn, yn, en posant

La ligne brisée s'écartera très peu de la courbe. On est ainsi amené à considérer lex expressions de la forme

qui sont les coefficients angulaires des côtés de la hgne brisée, pour des valeurs Xi, cci + i qui diffèrent très peu.

Plaçons-nous à un point de vue légèrement différent : soit f[x) une fonction définie pour les valeurs de x voisines de Xç^, ou, comme l'on dit, aux environs de Xq ; j'entends par là qu'on