CHAPITRE VI. DÉFINITIONS. CA.LCLL DES DÉRIVÉES

peut fixer un intervalle {xq — a, x^ -h a) dont x^ soit le centre, et dans lequel la fonction f{x) soit définie : il en sera évidemment ainsi toutes les fois que le point .Xq sera intérieur à un intervalle où la fonction f{x) est définie. Si l'on désigne par h un nombre au plus égal en valeur absolue à a, en sorte que la fonction f{x) soit définie pour x^ -{- h, et si l'on regarde ce nombre h comme un accroissement donné à la valeur x^^ de la variable x, l'accroissement correspondant de la fonction /(.z;) sera/fx^ + h), et le rapport

/(.ro + /t)-/(.r„)

sera l'accroissement moyen de la fonction f{x) quand on passe de Xo à Xq + h. La connaissance de ce rapport, pour les petites valeurs de h, renseigne sur l'allure de la fonction y(a:) au voisinage dexo', si l'on savait, par exemple, qu'il est toujours positif, lorsque h est moindre en valeur absolue qu'un nombre positif fixe, on saurait que la fonction est croissante pour x = j;,, (n" 167).

Le précédent rapport peut être considéré comme une fonction de la variable h, définie pour toutes les valeurs de Ii qui satisfont aux conditions o <i \ h \ ^ a., ou, si l'on veut, pour toutes les valeurs de h, autres que o, qui appartiennent à l'intervalle ( — a, a) . Ces valeurs forment un ensemble ('5C), dont le point o, qui ne lui appartient pas, est un point d'accumulation.

Supposons maintenant que la fonction f{x) soit continue au point Xo ; lorsque le dénominateur h du rapport tend vers o, il en est de même du numérateur /(x^ H- /i) — / [xq), en vertu de la continuité; si, dans ces conditions, le rapport tend vers une limite, si, en d'autres termes, il existe un nombre Xq, tel qu'on ait, au sens qu'on a expliqué au n" 151,

■ i;„,./(^-o + /0-/G^-u)^Xo, h=o "

on dit que la fonction /(j:") admet une dérivée pour x = Xq et la valeur de cette dérivée n'est autre que le nombre Xq.

En se reportant au n" 151 et à la signification attribuée au mot limite, on voit que cette définition peut être remplacée par la suivante.

Tannert I. — Inli'oduclion à la tbéorie des fonctions 22

àôo INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

Dire que la fonction /(a?) admet la dérivée X^ pour x = cc^,, c'est dire qu'à chaque nombre positif e, si petit qu'il soit, correspond un nombre positif v^ tel que l'on ait, sous les conditions

L'existence de la limite Xq suppose évidemment la continuité de la fonction en Xq, puisque l'inégalité qui précède entraîne celle-ci

\f(:r, + h)-f(x,)\<\h\ X (|XJ+s).

qui montre bien clairement que la différence /(^c^ + h) — /(a?o) peut être supposée aussi petite qu'on Aoudra, en valeur absolue, pourvu que h soit lai-même suffisamment petit, en A^aleur absolue. Lors donc qu'on sera assuré de l'existence de la limite Xo, on sera, par cela même, assuré de la continuité de la fonction. Les égalités

,. a'' — I , ,. sin h

htn. — , =lo"ot. Il m. — i — = i,

dont la première suppose a > o, peuvent être interprétées en disant que les fonctions a'^, sin x, ont pour x = o des dérivées égales respectivement à log a et i .

205. — Il convient maintenant de dire quelques mots du cas où, malgré la continuité de la fonction f{x) pour x = x^, la limite Xq n'existerait pas.

On a dit plus haut que, si la fonction f{x) était définie dans l'intervalle [xq — 'y., X(, -j- a), la fonction de h

était définie dans un ensemble (■'}€), qui n'est autre que l'intervalle ( — a, a) d'où l'on aurait exclu le point o, lequel est évidemment un point d'accumulation de l'ensemble (-îC).

Soit £ un nombre positif, moindre que a et soit ê (s) l'ensemble des valeurs distinctes que prend la fonction © [h) quand on suppose