CHAPITRE VI. Dlîl'INITIONS. CALCUL DES DÉHIVKES

o <; /i â î- Si l'on suppose que la ronclion ç/ [h) soit bornée dans l'ensemble (5C), l'ensemble 8 (c) est aussi borné ; on voit de suite que cet ensemble satisfait aux conditions du n'' 156, et qu'il existe un ensemble 8 (o) comprenant un nombre fini ou infini de points k dont cliacun jouit de la propriété suivante : il y a des valeurs de Ii aussi petites qu'on le veut, en valeur absohie, et pour

lesquelles le rapport -^-^^-^ ''.- ZJjii est aussi voisin de /.• qu'on

le veut.

Considérons, par exemple, la fonction x sin-; elle n'est pas

définie pour x = o : attribuons lui, pour x = o, la valeur o ; elle est alors définie pour toutes les valeurs de la variable et, comme il est aisé de le voir, continue pour cbacune de ces valeurs, en particulier pour £c = o. La fonction o [h), en prenant x^ = o,

se réduit ici à sin j ; elle ne tend vers aucune limite quand h tend

vers o, et il est aisé de reconnaître que l'ensemble 8 (o) coïncide avec l'intervalle ( — i, 4- i).

Au lieu de considérer à la fois toutes les valeurs de h qui satisfont à la condition o << | /i | S s, on peut considérer à part les valeurs positives et les valeurs négatives qui vérifient cette condition, puis les deux ensembles 8i (î), 8^ (î) dont l'une est l'ensemble des valeurs distinctes que prend © (h) pour les valeurs de h qui satisfont aux conditions o •< h ^ z, et le second l'ensemble des valeurs distinctes que prend o [h) pour les valeurs de h qui satisfont aux conditions — î ^ /i <C o ; ces deux ensembles, dont la réunion constitue 8 (s), donnent naissance à des ensembles 8i (o), 8^ (o) : chacun des points k du premier, par exemple, jouit de la propriété suivante : il y a des valeurs positives de h, aussi petites qu'on le veut, pour lesquelles (d (h) diffère de k aussi peu qu'on le veut. On donne quelquefois aux bornes supérieure et inférieure de l'ensemble 8i (o), qui font partie de cet ensemble (n" 156) les noms de dérivées supérieure et inférieure à droite delà fonction y(a;), pour x = Xq ; de même les bornes inférieure et supérieure de l'ensemble 8^ (o) seront les dérivées inférieure et supérieure à gauche de la fonction f{x) pour x = x^. Ces quatre dérivées existent toujours pourvu que l'ensemble 8 (c) soit borné pour une valeur suffisamment petite de z. Il est presque inutile de

34o INTRODUCTION A LA. THÉORIE DES FONCTIONS

dire qu'elles se réduisent, comme les ensembles & (o), 8^ (o), 8^ (o), au seul nombre Xq, quand la dérivée, au vrai sens du mot, existe. Dans la considération de l'ensemble 8i (s), les valeurs de la fonction © [h) pour les Valeurs négatives de h, ou de la fonction f[x) pour les valeurs de x plus petites que x^, n'interviennent pas : en sorte que, pour parler de cet ensemble, il n'est pas nécessaire de supposer que la fonction /(œ) soit définie dans tout l'intervalle (Xg — a, Xq H- a), mais seulement dans l'intervalle (xq, x^ + a). On dit que la fonction /(œ) admet une dérivée à droite, pour X = Xq, quand l'ensemble 81 (o) se réduit à un seul point, ou ce qui revient au même, quand le rapport

tend vers une limite lorsque h tend vers o par valeurs positives. De même, en supposant que la fonction f{x) soit définie dans l'intervalle ix^ — a, x^), on dira qu'elle admet une dérivée à gauche, pour a? = aîg, quand le précédent rapport tend vers une limite lorsque h tend vers o par valeurs négatives ; s'il en est ainsi l'ensemble 8^ (o) se réduit à un seul point.

Enfin, quand l'ensemble 8i (s) n'est pas borné en haut, par exemple, pour aucune valeur positive de s, il peut bien exister encore un ensemble 8i (o) de points k dont chacun jouit de la propriété qu'on vient d'expliquer, mais on peut en outre affirmer qu'il y a des valeurs positives de s aussi petites que Ton veut, pour lesquelles © [h) est aussi grand qu'on le veut : c'est ce qu'on exprime en disant que la dérivée supérieure à droite de la fonction f{x), pour X:= Xq, est égale à + x> . Le cas où la dérivée inférieure à droite, ou à gauche, serait égale à — 00 s'expliquerait de la même façon.

Enfin, je remarque que les notions précédentes peuvent s'appliquer à une fonction /"(a?) définie, non plus dans un intervalle, mais dans un ensemble clos (X) : si x^^ est un point d'accumulation de cet ensemble, pour lequel la fonction /(a?) soit continue, fa considération des valeurs que prend l'expression

CIIAPITUE VI. Dl'.FINITIONS. CALCLT. DES DICIUVÉES 3/|T

pour les valeurs de x qui appartiennent à l'ensemble (X) et qui sont voisines de ccu, conduira, comme tout à l'heure^ à la notion des dérivées supérieures ou inférieures, à droite et à gauche, de la fonction /(.x) au point x^. Je n'auiai pas l'occasion d'utiliser cette dernière extension, et en parlant de la dérivée d'une fonction, il sera toujours sous-entendu qu'il s'agit d'une fonction déterminée dans un intervalle. Même dans ce cas, les notions des dérivées supérieures ou inférieures, à droite et à gauche, n'interviendront guère dans la suite du présent Livre ; je ne les ai données que pour mettre en lumière ce qu'a de restrictif la supposition de l'existence d'une dérivée ; sauf avis contraire, quand je parlerai d'une fonction y(j?) admettant une dérivée pour x = Xq, le mot dérivée sera entendu avec la signification du n° 204, qui suppose d'une part l'existence des dérivées à droite et à gauche (sans autre épithète), c'est-à-dire l'existence de limites vei^ lesquelles tendent respectivement les rapports

quand h tend vers o par valeurs positives et, d'autre j)art, l'égalité de ces deux limites.

Toutefois ces dernières notions de dérivées à droite ou à gauche (sans autre épithète) interviendront naturellement quand Xq est l'une ou l'autre des bornes de l'intervalle {a, b) où la fonction /(x) est déterminée ; si a est la borne inférieure, quand on parlera de la dérivée en a, c'est la dérivée à droite que l'on entendra, puisqu'il ne doit pas être question des valeurs de x moindres que a ; de même, en parlant delà dérivée en b, c'est la dérivée à gauche que l'on entend, puisqu'il ne doit pas être question des valeurs de x supérieures à b.

206. — Considérons maintenant une fonction / [x), continue dans l'intervalle (a, 6) ; supposons qu'elle admette une dérivée pour chaque valeur de x appartenant à l'intervalle et autre que ses bornes : on est bien alors, pour une telle valeur, dans le cas du n° 204, puisque la fonction /(cv) est continue pour cette valeur, et définie aux environs. On pourra dire alors que la fonction /' [x) admet une dérivée à l'intérieur de l'intervalle (a, b), et cette dérivée

3/^2 rVTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONGTIOISS

sera une fonction de x, f'[x), définie pour toutes les valeurs de x qui vérifient les conditions a << a- << 6. Si cCq est une telle valeur, le rapport

est une fonction de h définie pour toutes les valeurs de h, autres que o, qui appartiennent à l'intervalle (a — x^, h — x^\ pour h = o, attribuons-lui la valeur limite/' (rCo) ; g [h) sera alors une fonction définie dans tout l'intervalle (a — x^, b — x^) ; ce sera une fonction continue dans tout cet intervalle ; elle est en effet continue pour h = o, d'après la convention qu'on vient d'adopter, elle est continue pour chacune des autres A'aleurs de h, puisqu'elle est le quotient de deux fonctions continues dont la seconde n'est pas nulle (n°' 162, 170).

Si, en outre, les fonctions de h

admettent des limites quand h tend vers o par valeurs positives ; si, pour employer le langage du numéro précédent, la fonction /(ac) admet une dérivée à droite en a, une dérivée à gauche en 6, on dira que la fonction f{x) admet une dérivée dans tout l'intervalle (a, 6).

Si on appelle courbe l'ensemble des points du plan dont les coordonnées x, y vérifient l'équation y = f{x), quand x varie de a à b, on dira alors que cette courbe admet une tangente en chacun de ces points, et le coefficient angulaire de la tangente sera précisément la valeur de la dérivée pour l'abscisse x^ du point considéré. Il est manifestement la limite du coefficient angulaire de la droite qui joint le point d'abscisse x^ au point d'abscisse x„ -+- h quand h tend vers o ('). Toutefois, l'ensemble de points considéré ne mérite guère le nom de courbe que si l'on ajoute aux suppositions déjà faites, la supposition que la dérivée est une fonction continue dans l'intervalle Ça, b), au moins en général.

Si la fonction y = f {x), continue dans l'intervalle (a, b) admet

(i) Le lecteur interprétera de suite la signification géométrique de la dérivée à droite ou à gauche.

CIIAPITUE Vr. DÉFINITIONS. CALCUL DES DÉRIVIÎES S/l'Î

une dcrlvcc dans cet inlcrvallc, on a dit plus haut que celle dérivée élait une foncllon de x définie dans cet intervalle, c'est làfonclion dérivée ; on la représente habituellement par l'un ou l'autre des symboles

Il peut se faire que !la fonction y' = f {x) soit continue dans l'intervalle [a, b) ou dans une partie de cet intervalle, et quelle y admette elle-même une déri^ée ; on représentera celle-ci par

Celte nouvelle fonction prend le nom de dérivée seconde de la fonction proposée/ (.r) ; on arrivera de même à la notion des dérivées troisième, quatrième, ..., /i% que l'on représentera paj quelqu'un des symboles,

d'y dj'^ '

Div,

Div.

La classe des fonctions qui admettent des dérivées n'est sans doute qu'une faible partie des fonctions continues ; c'est toutefois à cette classe de fonctions qu'il convient de s'attacher dans les éléments, en raison de leur simplicité. Ce n'est guère qu'à ces fonctions que j'aurai affaire. Toutefois, le cas oii une fonction qui a, en général, une dérivée se trouve ne pas en avoir pour quelques valeurs particulières de la variable se rencontre assez fréquemment.

207. — On a défini au n" 173 le polynôme dérivé d'un polynôme/'(.r) comme le coefficient de h dans le développement de f [x -h h) ordonné suivant les puissances de h ; il suffit de se rappeler qu'un polynôme en h est une fonction continue de /; pour re-

344 lîXTRODUCTIO:^ A LA THÉORIE DES FOJs'GTIONS

connaître que ce polynôme dérivé du polynôme /(a?) n'est autre que la dérivée du premier ordre àe, f(x), au sens du n° 204.

J'observe à ce propos que si l'on désigne par x' , h' les valeurs absolues de x et de h ; on aura

on le voit de suite en supposant que les deux membres soient respectivement ordonnés suivant les puissances de h et de h , on voit de plus, sur la même forme, que l'on a