AD — BG A G
que l'on obtient en faisant la division algébrique de Ax -f B par Cx -f D ; cette forme montre que y augmente ou diminue quand x augmente suivant que AD — BG est positif ou négatif.
Tannkrt I. — IiUroduction à la llicorie des fonctions 4
5o IINTRODUCTION A LA THÉORIE DES FO^CTIO^'S
OÙ les indices sont impairs, vont en diminuant; un terme quelconque de la suite (E) est plus petit qu'un terme quelconque de la suite (E'). Ces diverses propositions résultent aussi facilement des secondes égalités (2), (3). Ajoutons aux conditions déjà imposées aux nombres ao, a,,..., a„,... celle d'être des nombres entiers (au moins égaux à i à partir de a^). Les nombres P„, Q» seront entiers ; les nombres Q„ seront tous positifs ; ils iront en croissant, comme il résulte des formules (i) du n^ 34 et, puisqu'ils sont entiers, ils croîtront indérmiment, quand n croîtra indéfmiment, c'est-à-dire que, quelque grand que soit le nombre positif L, il existera un nombre entier m tel que, pour n égal ou supérieur à m, on ait Q„ > L. La même chose aura lieu pour les nombres P„ si a^ est nul ou positif; si a, est négatif 1^ = a, ai -^ i, sera négatif ou nul, et cette dernière circonstance ne pourra se présenter que si l'on a ao = — I. «1 = I ; P2 = «2 Pi + Pc sera sûrement négatif, ainsi que les nombres P3. P4,...; les valeurs absolues de Pi, P,, P3,... iront en augmentant et en augmentant indéfmiment avec l'indice.
Les fractions à termes entiers ry sont irréductibles pour n > i comme il résulte de l'égalité
P.Q«-l-Pn-lQ.= (— ïY~\
qui montre que Pn, Q» ne peuvent avoir d'autre diviseur commun
que Tunité ; ceci a encore lieu pour la fraction |y si elle n est pas
nulle.
La valeur absolue .^ . v de la diiférence entre deux fractions
consécutives tt ' ^" "^ '• peut, pour des valeurs suffisamment grandes
Vn vn -1- 1 de 71, être supposée anssi petite qu'on le veut, puisque lorsque n
croît indéfiniment, il en est de même de Q„; ainsi, il existe des nombres qui diffèrent aussi peu qu'on le veut pris l'un dans l'ensemble (E) des nombres qui constituent la suite (E) et l'autre dans l'ensemble (E') des nombres qui constituent la suite (E'). Ces deux ensembles (E), (E'), dont tous les éléments sont des nombres rationnels, jouissent des propriétés spécifiées au n" 17; ils définissent un nombre A compris entre deux nombres quelconques, pris l'un dans l'ensemble (E), l'autre dans l'ensemble (E').
CIIAPITUE I. Fn ACTIONS CONTINUES 5l
36. — Si les nombres entiers a„, ai,..., a,,,... ont élc- déduits ■du nombre irrationnel A par la suite des opérations qui ont été décrites au n° 33 et forment la suite indéfinie des quotients incomplets, auxquels correspondent les quotients complets A^, \^,..., An,..., on a vu que ce nombre A, égal à l'tui quelconque des nombres
était compris entre deux termes consécutifs de la suite des fraclions limitées
Pn
Qo'
ou des réduites
il ne peut donc être autre que le nombre défini par les deux ■ensembles (E), (E'); c'est d'ailleurs ce qui résulte encore des égalités (4) du n° 34, qui peuvent évidemment s'écrire, en donnant maintenant à A„ la signification de quotient complet correspondant à a,i,
Qn-i {0„ 1 A„ + ( )„, ,) (}„ .
A„ est plus grand que a,,, et la différence A„ — a„ est plus .petite que i ; enfin Q„i A„ + Q„2 est plus grand que 'Q„i «„ -i- Q„2 = Q:7 ' ces égalités montrent donc que A est
Pn- Pn
compris entre -^ — ^ et ^-, puisque les deux seconds membres sont
de signes contraires ; que A est plus grand ou plus petit que ~ suivant que n est pair ou impair ; que la différence entre A et
Pn . I . , . .
~- ' est moindre en valeur absolue que , - — , d'où il suit, en
cbangeant ii en /i + i, que la différence entre A et ^ est moindre.
Si»?
en valeur absolue, que ^-^ ; on voit aussi, en passant, que
P Pn
VT appi'ochc plus de A que -^ — ^ : A est plus grand que toutes les
réduites de rang pair, plus petit que toutes les réduites de rang impair; il est compris entre deux nombres quelconques pris, l'un dans l'ensemble (E), l'autre dans l'ensemble (E'), il est égal au nombre défini par ces ensembles, et l'on a une limile supérieure de l'erreur que l'on commet en choisissant pour valeur approchée de A un nombre pris dans l'un ou l'autre ensemble. On peut avoir aussi une limite inférieure de cette erreur; en effet la réduite
iLii est comprise entre A et ", en sorte que l'erreur commise
Qn + 2 Q"
en prenant -=^ pour A est supérieure en valeur absolue à la diffé-
rence entre les deux réduites 7^, 7=r^'t^, et par suite, en vertu des-
équations (3) n" 34 supérieure à rr-r^^— - et, a fortiori, k — — .
Par exemple, si le nombre A dont on part est le nombre k, on trouvera les réduites successives
— , — =0,142..., ---7. = o,i4i5o,.., -., = d,i4i5n2Q... I 7 loO ' iid ^ j j
37. — Ne supposons plus maintenant que la suite illimitée de nombres entiers a^, a^, ..., a,,, .-. ait été déduite du nombre donné A, mais bien que ce soit celte suite qui soit donnée ; on suppose toujours, bien entendu, que les termes soient, à partir de cil, au moins égaux à un ; les conclusions du n" 35 subsistent ; les ensembles (E), (E') définissent un nombre que je désignerai encore par A ; je vais prouver que si, sur ce nombre ainsi défini, on fait les opérations du n° 33, on retrouvera précisément, pour la suite des quotients incomplets, la suite même a^, a^, ..., an, ...
Tout d'abord les inégalités
où ciy est plus grand que i, montrent que ciq est la partie entière
ciiai'Ithe I. — rnvcTiONS r:o\TiMji:s 53
<lc A qui, par suite, j)(:ut clic mis sous la loiuuc
Aj désignant un noml)re positif plus grand que i ; c'est le [)rcmicr quotient complet engendre par le nombre A ; puisque A est compris entre les nombres
qui appartiennent respectivement aux cnsemlîles (E), (E), il faut c{ue Aj soit compris entre a^ et a^ h ; c'est-à-dire que ^i. est la
partie entière de Aj. Au lieu de continuer le raisonnement sous cette forme, ce qui serait d'ailleurs facile, raisonnons par induction : -admettons que, en partant du nombre A, défini par les ensembles (E), (E'), on ait fait la suite des opérations décrites au n" 33, qu'on ait trouvé «Q, a^, ..., an— i pour les premiers quotients incomplets ■et soit A„ le n" quotient complet : A ou
devra être compris entre les deux fractions
Qn-tan-i-Qn-l' (A / ^, , L\ ■ H
qui appartiennent respectivement aux ensembles (E), (E') et. par
suite, A,r devra être compris entre o„ et cin -h ; a„ est donc la
partie entière de A„, c'est-à-dire le n' quotient complet. La proposition est démontrée.
Il en résulte que le nombre A, défmi, comme on l'a expliqué, au moyen de la suite indéfinie de nombres entiers a^, a,, ..., Un, ..., est irrationnel, puisque, s'il était rationnel, il donnerait naissance à une fraction continue limitée.
