Le symbole

OÙ l'on imagine que les fractions s'étagent indéfiniment est, en supposant comme ci-dessus que a^ soit un entier quelconque et a^, a^, «3, ... des entiers positifs au moins égaux à un, est ce qu'on appelle une fraction continue illimitée (arithmétique) ; on appelle valeur de cette fraction continue le nombre irrationnel A dont la définition a été précisée plus haut ; inversement, ce nombre A, si l'on fait sur lui les opérations décrites au n° 33, engendre la fraction continue illimitée précédente, dont a^, a^^, a,^, . . . sont les quotients incomplets ; quant aux quotients complets correspondants, il convient de remarquer que, de même que A engendre la fraction continue dont les quotients incomplets sont «g, a^, «2' •••' 1g premier quotient complet A^ engendrerait la fraction continue illimitée dont les quotients incomplets sont a^, a^, ttg, ..., le 71° A„ engendrerait la fraction continue illimitée dont les quotients incomplets sont a„^ cinj^ i, a« + 2' ■•• Par exemple, si l'on prend, en général

on définira un nombre irrationnel A, lié au nombre e qui sera défini plus tard, par la relation

Il est clair que deux suites illimitées distinctes

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satisfaisant aux conditions précédemment expliquées, ne peuvent servir à former deux fractions continues illimitées