CHAPITRE VI. DÉriMTIONS. CALCLL DES DÉlilVÉES

dants, tous positifs, de la série convergente

et, a fortiori, inférieurs ou égaux aux termes, tous positifs, de la série également convergente

n= ce V^ . A" — .r/"

(3) Z "" — ir^'

Les relations d'inégalité entre les termes correspondants de ces séries, vraies pourvu que h ne. soit pas nul et vérifie la condition /i' <B, subsistent quand on attribue, pour /< = o, à la fonction de h

(:r„ + hy - X':

qui n'est pas définie pour h = o, sa valeur limite nxl''~^ ; mais cette fonction devient alors une fonction continue de /( dans l'intervalle ( — B,B) : La série ( i) est, dans cet intervalle, uniformément convergente (n" 183) ; sa somme est une fonction continue de h, dont la valeur pour /; = o s'obtient simplement en remplaçant /* par o dans

chaque terme, c'est-à-dire en remplaçant — j^ -" par

njCù"""' ; cette valeur est donc la somme de la série

dont il est certain, par la démonstration même, qu'elle est absolument convergente, puisque ses termes sont moindres, en valeur absolue, que les termes correspondants de la série (3).

Ainsi la fonction f(.:r) a une dérivée à l'intérieur de l'intervalle ( — A, A) et cette dérivée est la somme de la série absolument convergente

f (.-c) = Oj -h 2^2 X -h Sflg X- -{-... H- non j-"~' -i ...

dont les termes sont respectivement les dérivées des termes de la série y (œ). Si A' désigne un nombre positif, aussi voisin qu'on voudra de A. mais plus petit, la série f'{x) reste convergente, d'après ce qu'on vient de dire, quand on remplace les coefficients numériques par leurs valeurs absolues et x par A' ; on peut donc raisonner sur cette série /' (a;) et sur l'intervalle ( — A', A') comme on a fait sur la série/ {x) et l'intervalle ( — A, A;. La fonction f {x) a donc une dérivée, à l'intérieur de l'intervalle ( — A', A'), et par conséquent à l'intérieur de l'intervalle ( — A, A), puisque A' diffère de A aussi peu qu'on le veut : cette dérivée est la somme de la série

y" (x) = 1 . 3 «2 H- 2 .3 a.^x -\- ... -\- [n — i) nan x'^~^ -h . . . ,

absolument convergente pourvu que Ton ait x' «< A ; il est clair que l'on peut continuer ainsi indéfiniment . la série

1.2. ... p a^j H- 2.3 ... (p + i) «^4. 1 .r + ... -+- (/i — p H- i) (a — p-h 2)... /îa„.r" — î'+ ...,

est absolument convergente pour toute valeur de x intérieure à l'intervalle ( — A, A) et sa somme est la dérivée p", f ^ (x), de la fonction /(j;), A l'intérieur de cet intervalle, la fonction /(œ) a donc des dérivées de tous les ordres.

L'expression de la dérivée /)- montre que l'on a

€n sorte que la série proposée peut s'écrire sous la forme

c'est la généralisation manifeste d'une formule du n" 173, relative aux polynômes.

Si, en particulier, la fonction f{x) est une fonction entière (11° 184), A peut être pris aussi grand qu'on le veut. Une fonction entière /(ic) admet, dans tout intervalle, des dérivées de tous les ordres qui se déduisent delà série qui définit cette fonction y(x) par les règles qu'on vient d'expliquer.