Tel est le cas pour les fondions

é^j sîn X, cos .r, sh x, ch x,

dont les dérivées, comme on le reconnaît immédiatement par l'application de la règle précédente, sont respectivement

cos X,

ch X, sh X.

La dérivée n" de e' est e^ ; celles de sin x, cos x sont respectivement sin (a^ H ) et cos (x -+- —-), celles de sh x et ch x sont

irespectivement ch x et sh x, ou sh x et ch x, suivant que n est Impair ou pair.

Les relations

log{x+h) — logx i , /, , ^\ I /^ , ^i! ...

h — Il '-^ V ~^ h -x^^'-^ Sx' '

où dans la seconde m est un nombre quelconque, oili l'on suppose dans toutes les deux, pour qu'elles soient valables, x > o, [ /i | <C x, montrent, puisque les derniers membres sont des fonctions continues de h, pour /i = o, que les dérivées respectives de log x et de

.£c'" sont respectivement - et mx"'

210, — On a utilisé, pour ces di^-ers exemples, les développements en série établis dans le chapitre précédent ; le lecteur trouvera dans les divers livres qui traitent de la matière d'autres procédés pour obtenir les dérivées des fonctions simples que l'on a considérées dans les derniers paragraphes ; il démontrera sans peine les propositions suivantes où ii, v, w, . . désignent des fonctions de la variable x, en nombre fini, admettant, pour toutes les valeurs de .X qui appartiennent à un intervalle [a, b) des dérivées ii', v', w' , ...

Si A, B, C, ... désignent des constantes, la fonction de jî

y := A.II -u Bu -h Cw -h ...

admettra, clans l'intervalle considéré, une dérivée et celte dérivée sera

/ = Au' -+- Bd' + Civ' + ....

La fonction

y = UV

admet, dans le même intervalle, une dérivée, et cette dérivée est

y =z u'v H- uv'.

On peut encore écrire

Si l'on désigne sous le nom de dérivée logarithmique d'une fonction le rapport de la dérivée de cette fonction à la fonction elle-même, on peut donc dire que la dérivée logarithmique d'un produit de deux facteurs est égale à la somme des dérivées logarithmiques de ces facteurs ; cette proposition s'étend au cas de trois, quatre, ... facteurs : elle est générale.

Par exemple, si l'on suppose

y = iivw on aura, en désignant par y' la dérivée de y

y' u' v' iv'

ou

y' rr= li'im -+- llv'lU H- IIVIU' .

Si l'on suppose

m étant un nombre entier positif, on aura

y' II'

— = ;ïi — , y u

OU

y' = mil'" ~ hi'.