CHAPITRE YI. DÉFINITIONS. CALCUL DES DÉRIVÉES ?)^\(J
La fonclion
admet une dérivée pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à Tintervalle {a, h) et qui n'annulent pas v ; cette dérivée est
On déduit de là immédiatement que la dérivée logarithmique d'un rapport est égale à la dilTérence entre la dérivée logarithmique du numérateur et la dérivée logarithmique du dénominateur.
En particulier si l'on supposej = u~ '"= — , m étant un nombre naturel, on aura
ce qui permet d'étendre aux exposants entiers négatifs une règle établie précédemment pour les exposants entiers et positifs.
Je signalerai encore les deux formules suivantes où m désigne un nombre naturel et où figurent les dérivées des fonctions ii, v, jusqu'à l'ordre m dans la première, jusqu'à l'ordre m + i dans la seconde. Il est à peine utile de dire qu'on suppose l'existence de ces dérivées. Les symboles D'", D placés en tête du premier membre signifie la dérivée m", ou première, de la quantité placée entre parenthèses, ou entre crochets.
DJ^ijC")?; — u('»-')i;'-f-H('"- -)i'" — ... + (— l)'"-'H'y('"-i)+( — i)'»«i.("')l = «("'+ ')v -h ( — l)'" «('('" + ').
La vérification de la seconde est immédiate. La première où, dans le second membre, les coefficients numériques suivent la même loi que dans le développement de la puissance nf d'un binôme, s'établit sans peine par induction.
211. — En appliquant la règle relative à un rapport, on trouve
que la dérivée de
sin X
:héor;
est
sin^ X H- cos^ x
cos- X ~
~ cos^
= 1 + tg^ X,
pour toutes les valeurs de x qui n'annulent pas cos x. De même, la dérivée de
cos .T I
siii X ia: X
est
les dérivées de
sont respectivement
.1 sli X I
th X =r - , -V
cil X th X
= 1 — th'2 X,
ch" X ' sh'^ X' th- X
On sait donc trouver les dérivées des fonctions entières ou rationnelles, des fonctions ce", a", sin x, cos x, sh x, ch a;, log x et decelles qu'on déduit de ces fonctions par addition, multiplication, division, élévation aux puissances entières. J'établirai dans lesdeux numéros qui suivent deux théorèmes qui permettent d'obtenir les dérivées des fonctions obtenues par d'autres combinaisons de ces fonctions simples.
212. — Soit II ==f{x) une fonction de x admettant une dérivée II' dans l'intervalle (a, b) ; soient A et B les limites inférieure et supérieure de la fonction u dans cet intervalle ; regardons pour un instant u comme une variable indépendante et soit cp (ii) une fonction de celte variable admettant une dérivée ç' [u) ; dans l'intervalle (A, B) ; il est clair qu'à chaque valeur de x appartenant à l'intervalle (a, b) correspond une valeur de u appartenant à l'intervalle (A, B) et par conséquent une valeur de © (u) : en ce sens © [u) peut donc être regardé comme une fonction de x définie dans l'intervalle (a, 6) ; je vais montrer qu'elle admet une dérivée égale à cp' [u) X u'.
