CHAPITRE vr. — Bi':i-miTiONS. calcul des dérivées 35 i

Considérons, en cHet, une valeur parliculicrc x,, appartenant à l'intervalle (a, J>) ; soit n^ ==:y(.ro) la valeur correspondante de la première fonction. Si l'on donne à x un accroissement h, la fonction u prendra un accroissement /.• ^=/(xo -h A) — /(•'^o) • ^^ s'agit de montrer que, lorsque // tend vers zéro, le rapport

({;(»„ + /■•)— cp(»J h

tend vers une limite, et d'évaluer cette limite.

Supposons d'abord que, pour les valeurs de | /< | inférieures à un certain nombre positif'/;, /; ne soit pas nul, sauf pour /t ^ o, le précédent rapport pourra s'écrire

Si l'on fait tendre h vers o, k tend aussi vers o, à cause de la continuité de la fonction ii, et le facteur

k /(.■„ + /0-/(.ro) A — h

tend, par définition, vers la valeur u'^ de la dérivée u' de la fonction Il =f(^x), qui correspond à la valeur Xq de la variable; le premier facteur

a un sens pourvu que l'on ait o << | A | <C v; ; lorsque h tend vers o, il en est de même de /.-, et le rapport a pour limite la valeur o' («o) de la dérivée (p' (a) pour ii = Uq ; la dérivée de la fonction © (il) de X, prise par. rapport à x, est donc le produit de la dérivée de la fonction o{u), prise par rapport à u, par la dérivée de u, prise par rapport à x.

Cete proposition subsiste dans le cas exclu, le cas où, pour les valeurs de (h) inférieures à n'importe quel nombre positif, il y aurait toujours des valeurs nulles de /.-.

Soit alors, en désignant par Vy un nombre positif, (H) l'ensemble des valeurs de h pour lesquelles on a o <C | A | <C '/; ; soient (H) l'ensemble des valeurs de h qui vérifient ces inégalités et pour les-

quelles k est nul, et (H") l'ensemble des valeurs de h qui vérifient ces inégalités et pour lesquelles k n'est pas nul, en sorte que l'on a (H) = (H') + (H"). Par hypothèse, o est un point d'accumulation de (Il)et de (H')- On peut se bornera examiner le cas où o est aussi un point d'accumulation de (H') ; si, en effet, il n'en était pas ainsi, les valeurs de h suffisamment voisines de o ne pourraient appartenir à (H"), elles appartiendraient donc à (H') ; eu d'autres termes k serait nul, pourvu que h fût suffisamment voisin de o ; dans le voisinage dea'o, la fonction ii ^= f{x) serait constante ; il en serait de même de la fonction ©(«), regardée comme une fonction de x : le théorème serait évident. Supposons donc que o soit un point d'accumulation de (H"), ainsi que de (H'). Tout d'abord, il est clair que u^ est nul ; en effet, quand h reste dans l'ensemble (H), /»• =f{JCo -+- h) — f{xo) est nul, on a donc

lim. /(J-Q + h) — f(x^) ^ ^ .

l'existence de la dérivée/' (x) étant admise, il faut bien que W =/' (aîfl) soit nul.. Il suffit donc, pour établir la proposition énoncée, de montrer que l'on a

lim. '■? ("n + ^'O — ? ("o) ^ o

en supposant que h appartienne à (H). Or le raisonnement primitif, fondé sur l'égalité

?K + k) — o{u,) cp f»o + k) — o f »p) k h - k X A'

subsiste lorsque h appartient à (H"), et il en résulte qu'on peut faire correspondre à chaque nombre positif s un nombre rj. <^y] tel que l'on ait

sous la condition que h appartienne à (H") et que l'on ait | h |-<"/;i mais l'inégahté à démontrer subsiste d'elle-même, si h appartient à (H'), puisque, alors, k est nul : elle subsiste pourvu que l'on ait o •< 1 A I << vjj ; et la proposition énoncée est établie.

cirAPiTRE VI. — T)Ki'i!NiTioNS. CALCUL DES niînivfncs .'^)53

Ce théorème s'clcnd sans difficulté; si, on conservant les notations précédentes on désigne par A,, B, les limites inférieure etsupérieure de la fonction «p (a) dans l'intervalle ( A ,B) relatif à la variable u et que, en posant v = rp [u], on considère une fonction 'b (i') de la variable v admettant une dérivée <V (î') dans l'intervalle (A,, 13/) relatif à la variable ?', on pourra regarder 'Ku) comme une fonction de x; cette fonction admettra une dérivée dans l'intervalle (a, h) et celle dérivée sera

etc.. Voici quelques applications :

La formule cos £C := sin I - — x\ montre que l'on peut regarder cos X commie le sinus de la variable w = x: la dérivée de

cos x est donc égale à la dérivée de sin « = sin ( - — x) par rapport à II, c'est-à-dire cos n -- cos ( - — x\, multipliée par la dérivée de II, c'est-à-dire — • i ; la dérivée de cos x est donc — sin 5C , on relie ainsi des résultats établis précédemment.

Si II désigne une fonction de x, admettant une dérivée ii, les dérivées des fonctions a", log u, iV", considérées comme des fonctions de X, seront à"u' log a, -, mu'"~^u', puisque les dérivées

de a^, log X, a;™ sont a^ log«, -, mx"''^^.

Relativement aux fonctions log «, iV", on doit supposer que, pour les valeurs de x appartenant à l'intervalle considéré, « reste positif ; toutefois celte restriction ne serait pas nécessaire pour u'", si m était égal à une fraction irréductible à dénominateur impair ; en convenant de prendre

u™ = — ( — uy»

si il était négatif. Dans ce cas encore, la règle de dérivation serait la même.

213. — Soit/(j) une fonction de la variable y admettant, dans l'intervalle (A. B), une dérivée f (y) ', considérons l'équation J (}') ^^ ^' ^'' supposons qu'il y ait une fonction continue o (ic), con-

Tanneby I — lutroductiou à la théorie de8 fonctions 23

354 i:^TRODUCTION A LA. THÉORTÈ DES PONCTIONS

tlnue dans rinleivalle(a, 6)^ dont les bornes inférieure et supérieure relatives à cet intervalle soient comprises entre A et B, telle enfin que, X étant une valeur quelconque appartenant à l'intervalle (a, h), la valeur de /(j) soit égale h. x lorsqu'on remplace}' par (p (x) ; une telle fonction existera certainement (n° 169) si la fonction f{y) est croissante dans l'intervalle (A, B) et si l'on prend a ^J'{^\y b =/(B). Je vais montrer que la fonction y = 'f (£c). (\\[c fonction inverse de la fonction /"(}'), admet une dérivée pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle {a, 6) et qui n'annulent pas/'(j) : cette dérivée est

Considérons, en effet, une valeur de x appartenant à l'intervalle {a, b) et la valeur correspondante de y ; si l'on donne à x un accroissement /(, la fonction }' ==. © (.x) prendra un accroissement k = ç{x -\- h) — (p [x) et l'on aura/ (3') = x, f{y ~\- k) = x -+- h ; ces deux égalités montrent d'abord que l'on ne peut avoir k = o sans que Ji soit nul ; on en tire d'ailleurs

A cause de la continuité de la fonction d [x), k tend vers zéro en même temps que h; dans ces conditions, le premier membre tend vers la limite/' (j) ; si donc celte limite n'est pas nulle, le rapport

k o (x H- /() — ti (x)

aura pour limite jrfj. lorsque h tendra vers zéro. C'est ce qu'il

fallait démontrer.

Ainsi le logarithme naturel y d'un nombre positif x peut être défini par l'équation ev =x; la dérivée y' de log x est donc l'inverse de la dériA^ée de e-' par rapport à y et l'on a

^ ey .~ X ' Les fonctions 11 = arc sin x, v = arc cosa?, w = arc tg x ont

CIIArlTUE VI. DKFINITIONS^. CALCUL DES DÉRIVÉES 355

été définies au n" 199 ; elles véiifient respeclivement les équations

sln u = .1', cos V ■=■- X, i'^ v> = x, on en conclut que leurs dérivées sont respectivement

cos u

pour les deux premières, le radical doit être pris avec sa signification arithmétique, puisque les arcs a et v doivent être compris

l'un entre — - et + -, l'autre entre o et tt ; en sorte que cos u et siny sont certainement positifs.

214. — On peut évidemment combiner la règle qu'on vient d'établir avec celle qui concerne les fonctions de fonction.

Si, par exemple, une fonction continue ^(u) vérifie l'équation /(}') ^^ ^'' po^^r toutes les valeurs de u comprises entre a et 6, et si a est une fonction g (x) qui admette une dérivée dans l'intervalle (a, |S), et qui reste, pour cet intervalle, comprise entre a et h, il est clair que la fonction 7= © [^ (œ)], vérifiera l'équation f {y) = g [x] pour les valeurs de x comprises entre a et jS et

admettra la dérivée ^, ; {, pour celles de ces valeurs qui n'annu-

leront pas/' (j).

Désignons, par exemple, par P et Q deux polynômes en x et considérons l'équation

tgj=^.

En conservant au symbole arc tg la signification adoptée au n" 199, toutes les solutions de cette équation (en y) sont données parla formule

y = arc tg ^ -h n tt,

n étant un entier arbitraire ; mais il importe d'observer que la

P fonction arc tg ^ , évidemment continue pour les valeurs de x telles

que la fraction rationnelle q soit continue, peut n'être pas continue

pour les valeurs de x qui annulent Q :

Soit a une telle valeur, qui peut d'ailleurs annuler aussi le polynôme P (^); il y a lieu de distinguer divers cas : il peut se

faire que, x s'approchant de a, la fraction ^=. tende vers une limite,

c'est ce qui arrivera lorsque a sera pour le polynôme P une racine d'un ordre de multiplicité égal ou supérieur à l'ordre de multiplicité de cette même racine pour le polynôme Q ; rien n'empêchera

d'attribuer à pr cette valeur limite pour x = a ; dès lors, ^ et arc tg j^ seront des fonctions continues de x pour x = a.

S'il en est autrement, c'est que, lorsque x s'approche de a, 7=i I

augmente indéfiniment ; il peut arriver trois cas :

1° Lorsque x croît et traverse la valeur a, v=r conserve le même

signe : on attribuera alors à arc tg ^ , pour x =: a, la valeur

-h - ou — -, suivant que, pour les valeurs de x voisines de a, ç<

est positif ou négatif ; arc tg , sera une fonction continue de x

pour a; = a.

2° Lorsque x croît et traverse la valeur a, ^ passe de — oo à

H- co . Alors, pour les valeurs de x un peu plus petites que a,

arc tg j est voisin de — ''■, et pour les valeurs de x un peu plus

erandes. arc t"- - est voisin de h — ; afin que la fonction arc te: /r

soit toujours définie, convenons de lui attribuer la valeur h — , pour

X = rj,.

3° Dans les mêmes conditions - passe de + oo à — oo ; pour

les valeurs àc x un peu plus petites que a, arc tg w est voisin de

(M On f;ourrait écarter cette supposition, en supprimant les fact&urs communs à P, Q.

CHAPITHE VI. DÉFIINITIONS. CALCUf. DES r)ÉniVÉES S.jy

H- - ; pour les valeurs de x un peu plus grandes que a, arc tg est voisin de ^ ; convenons de lui attribuer cette valeur pour

XT=:=.r/..

On pourra faire en sorte que l'expression

arc tg ^ + n r

représente une fonction continue de x, pour toutes les valeurs de cette variable, en regardant n comme une fonction de x, qui n'admette d'ailleurs que des valeurs entières et satisfasse aux conditions suivantes : elle reste constante à l'intérieur de tout inter-

|P valle où la fonction arc tg ^r estcontmue, en adoptant les conventions

précédentes ; elle diminue brusquement d'une unité, ou augmente

brusquement d'une unité, lorsque x croissant, la fonction arc tg j^

augmente, ou diminue, de ti ; en sorte que cette fonction n ne change que lorsque x traverse en croissant une valeur a qui fait

passer wde — ooà-f-co,oude-l-ooà — oo : pour j; = a, la

fonction n prend alors une valeur inférieure ou supérieure d'une

unité à celle qu'elle avait pour x un peu plus petit que a, et garde,

pour X un peu plus grand que a, la même valeur que pour a; = a

En d'autres termes encore, si l'on suppose Xi > x.^ et si l'on

désigne par ;ii, n^ les valeurs de n qui correspondent à x^, x^, la

différence n.^ — n^ s'obtient en considérant celles des racines a

de l'équation Q = o qui vérifient les conditions cci <C a g X', et

p en retranchant du nombre de ces racines pour lesquelles -^ passe

de -h 00 à — 00 , le nombre de celles pour lesquelles ^ passe de

— oo à H- 00 . Si a^i est une racine du polynôme Q pour laquelle

Q ne change pas de signe, il n'y a pas lieu de s'en occuper.

Ces conventions, qui compensent la discontinuité de la fonction

arc tg , fixent entièrement la valeur de la fonction discontinue n,

pourvu que l'on se donne la valeur /?„ de celte fonction pour une valeur Xq de x. L'entier Rq peut être choi&i arbitrairement.

La fonction continue arc tg >- + nn, ainsi définie, pourra, si

l'on veut, être représentée par un symbole tel que Arctg - , c'est

bienunarcdontlatangenteestégale à ^, mais il est indispensable

de le distinguer de la fonction arc tg ^ , toujours comprise entre

et H — , et non définie pour les valeurs de x qui rendent

infinie la fraction ^.

Par exemple, on pourra définir la fonction Arc tg - , pour toutes les valeurs de x, en posant

Arc tg' - = arc ts - 4- mz,

et en supposant n = o pour x nul ou positif, et n = i pour x négatif ; pour x = o, Arc tg - doit d'après les conventions précédentes être pris égal à ~ . On a alors Arc lo; - = -' — arc tg x.

Pour une valeur de x qui n'aïuiule pas Q, la dérivée de

la fonction Arc tg ^ est, d'après le numéro précédent, égale à

Ji'Q pQ'

-pi ^~- , en désignant par P' et Q' les dérivées des polynômes

P, Q. Que cette même formule subsiste pour les valeurs de x qui annulent Q, c'est ce que le lecteur n'aura pas de peine à démontrer. Si la valeur considérée de a annulait à la fois P et Q, on

p/Q pQ'

devra attribuer à -w^^ ~i- sa valeur limite.

Les détails dans lesquels je viens d'entrer me permettent de me borner au simple énoncé de la proposition que voici, qui est analogue à la précédente, mais dont la démonstration est plus facile en raison de la simplicité des résultats.

Si a est un nombre positif, il y a une fonction j de x qui vérifie, pour toutes les valeurs de x, l'équation

tg j = a tg X,

qui est continue pour toutes les valeurs de x, et qui s'annule pour

CIIAPITHE VI. rOUMULE DES ACCROISSEMENTS FINIS 35j}

a; r= o ; il n'y a d'ailleurs qu'une fonction qui satisfasse à ces conditions : sa valeur est égale à celle de x toutes les fois que x est un multiple entier de - ; si x est compris entre deux multiples

entiers consécutifs de -- , la valeur de j est comprise entre les deux

mêmes nombres. Cette règle, connaissant x, permet de calculer aisément y au moyen des tables trigonométriques. Je représenterai par Arc tg (a tg x) la fonction ainsi définie (') : elle est égale à x quand a est égal à i . Sa dérivée est

II. — FORMULE DES ACCROISSEMEiMS FINIS. FO>GTIO.NS COMPOSÉES. F0>GTIO>S IML^LICITES

215. — L'importante proposition que je vais maintenant établir concerne une i'onction /(r), dont on sait qu'elle est nulle pour £C =r a et pour x =^ b, qu'elle est continue dans l'intervalle (a, b) et qu'elle admet une dérivée f\x) à l'intérieur de cet intervalle ; elle s'appliquera évidemment si l'on sait que la fonction /(j:) admet une dérivée dans tout l'intervalle, y compris les bornes, puisqu'alors elle est certainement continue dans tout cet intervalle.

Dans ces conditions^ on peut affirmer qu'il y a une valeur | de X, intérieure à TintervaUe (a, b), pour laquelle on a /" (1)= o (^).

(i) Elle est la somme de la série

, a — I sin 2 j /a — i \ 2 sin i ■'' , , f ^ — i \;' sin

{-) Celle proposilion est connue sons le nom de théorème de Rolle. La démonstration qui suit est due, pour le fond, à O. Bo>>et. M. Darboux m"a fait remarquer, alors que je préparais la première édition du présent Livre, le rôle que jouait dans celle démonstration le fait qu'une fonction continue atteint sa borne supérieure. C'est ^I. A^doyer, alors qu'il était élève à lEcole normale, qui m'a fait remarquer que la démonstration de Bo.n.neï ne supposait pas l'existence de la dérivée aux bornes de l'intervalle.

36o INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

En effet, ou bien la fonction f{oG) est nulle pour chacune des valeurs de x appartenant à l'intervalle (a, h), ou il existe de telles valeurs qui la rendent différente de zéro. Dans le premier cas, elle est constante, sa dérivée est nulle pour toute valeur de x appartenant à l'intervalle (a, h) ; dans le second cas, elle prend des valeurs positives ou des valeurs négatives ; si elle prend des valeurs positives, elle admettra, dans l'intervalle (a, 6), une borne supérieure différente de zéro ; puisqu'elle est continue, elle atteindra cette borne supérieure pour une valeur ^àe x appartenant à l'intervalle (a, 6) et nécessairement distincte de a et de 6 ; dès lors, si h désigne un nombre positif quelconque assez petit pour que les deux nombres ^ -\- h, S — h, appartiennent à l'intervalle (a, 6), on aura

et par suite

Il — h "

Si l'on suppose que h tende vers o, les deux rapports tendent par hypothèse vers la limite/' (|); la première inégalité montre que cette limite est négative ou nulle, la seconde montre qu'elle est positive ou nulle : on a donc y (S) = o. S'il arrivait que y (x) prît, dans l'intervalle {a, b) des valeurs négatives, on arriverait à la même conclusion en considérant la valeur de x qui fait acquérir à la fonction /(x) sa valeur minimum dans l'intervalle (a, h).

Il convient de remarquer que cette démonstration ne suppose en aucune façon la continuité de la dérivée /' {x) ; elle ne suppose même pas l'existence de cette dérivée pour £C == a et a: = 6, pourvu toutefois que la fonclion soit continue dans l'intervalle {a, h) au sens du n" 163.

Voici maintenant des conséquences importantes de cette pro230silion.

216. — Si la fonction /(jî) admet une dérivée /' (x) dans l'intervalle (a, 6), on a

LWZZ/ («)/'(,.);