CHAPITRE VI. FOUMULE DES ACCROISSEMENTS FlINIS

^ étant un nombre compris entre a et h, diflcrent de a et de h. Ce théorème s'appliquerait lors même que l'existence de la dérivée aux limites a, h ne serait pas assurée, pourvu que cette dérivée existât certainement pour toutes les autres valeurs de x appartenant à l'intervalle (a, b) et que la fonction fût continue dans cet intervalle.

Il suffit, pour s'en assurer, d'appliquer le théorème précédent à la différence entre f{oc) et la fonction, du premier degré en x,

;w^(.„)/Jii-3Z(«)

qui, pour aj = a et x = b, prend les mêmes valeurs que f\x) : cette différence s'annule pour £C = a et a: == 6, elle admet, pour les valeurs de x comprises entre a et b, une dérivée égale à

cette dérivée doit s'annuler pour une valeur ^ de x appartenant à l'intervalle (a, 6), autre que a et 6 ; on a donc

Si l'on désigne par œ et x + A deux nombres appartenant à l'intervalle (a, 6), on pourra évidemment remplacer^ dans le théorème qui vient d'être démontré, a et 6 par x et ce -h A ; le rapport

est donc égal à la valeur que prend la dérivée/' (x) pour une valeur de la variable comprise entre œ et x 4- A : on peut représenter une telle valeur par x + 6h, en désignant par $ un nombre compris entre o et i , mais qui n'est ni o ni i , on peut donc écrire

et cette égalité suppose seulement la continuité de la fonction dans l'intervalle {x, x H- h) et l'existence de la dérivée à l'intérieur de cet intervalle. ^

Si les fonctions /(a?), (p {x) sont continues dans rintervaUe(a, 6) et admettent des dérivées /'(x), ©' (a?) à l'intérieur de cet intervalle, si, enfin, la dérivée ©' (x) ne s'annule pour aucune valeur de x comprise entre a et 6, on a

^ étant une valeur comprise enti'e a et 6 et autre que a et 6.

Il suffit d'appliquer le précédent raisonnement à la fonction de x

/(x) -/(«) - [o (x) - ç {a)]fJ^j^l^y

qui est nulle pour œ = a et ic = 6, et qui admet dans l'intervalle (a, b) la dérivée

Cette dérivée doit s'annuler pour un nombre S compris entre a et 6 et, puisque la quantité cp' (^) n'est pas nulle, on a

/(6)-/(a).r(^) cp(6)cp(a) o'(;j-

On peut remplacer cette égalité par la suivante, où les deux nombres x, x -\- h sont supposés appartenir à l'intervalle (a, 6) et où 0 désigne un nombre compris entre o et i , qui n'est ni o ni i :

f{x-^h)~f{x) £ (a;+ 0/0 D (x H- /(.) — Ci (x) o' [x + e/i) ■

218. — Le théorème du n° 216 met bien en évidence la possibilité, pour une fonction /(as) qui admet une dérivée bornée dans l'intervalle (a, b), de trouver un nombre positif y^ correspondant à un nombre positif donné £, tel que l'écart de la fonction, dans tout intervalle compris à l'intérieur de (a, b) et d'étendue moindre que T,, soit plus petit que £ ; en vertu de la formule

f{x-^h)-f{x) = hfix + ^h), : ..

CIIAPITIIE VI. — FORMULE DES ACCUOISSEMENTS l'IMS 363

il suffit de prendre

en désignant par M la borne supérieure de la fonction | / (x) | dans l'intervalle {a, b).

Le môme théorème montre encore que, si la fonction /(.«) admet une dérivée f (x) dans l'intervalle (a, 6) et si la dérivée /' [x] est continue dans le môme intervalle, le rapport

tend uniformément vers /' (x) quand h tend vers o, c'est-à-dire qu'à chaque nombre positif s. correspond un nombre positif v^ tel que l'on ait

fi^^m __;^(.)

pourvu que | h \ soit inférieur à yj et que a? appartienne à l'intervalle (a, b), ainsi que x -+- h.

En effet, on a, en désignant par 0 un nombre compris entre o et I ,

/i^L+/j^Zli>) =/' (.r + 0 h),

et, à cause de la continuité de la fonction /' [x), il existe un nombre y^ tel que l'on ait

|/'(.r + e/0-/'GT)|<e,

pourvu que li soit inférieur à yj en valeur absolue et que x et x -h h appartiennent à l'intervalle (a, b).

219. — Supposons que la fonction z = f{x, y) des deux variables X et y soit déterminée dans l'ensemble (XY) des systèmes de nombres x, y qui vérifient les conditions a <x <a' ,b < y < b' ; et que, si l'on attribue à }' une valeur fixe appartenant à l'intervalle (6, 6'), la fonction de x, z^=^f{x,Y), évidemment déterminée dans l'intervalle (a, a') y admette une dérivée ; celle-cî sera dite la dérivée partielle de la fonction f{x, y) par rapport à

X et se représentera par l'un ou l'autre des symboles/^, -^ : on

écrit quelquefois, plus explicitement f'^ (x, y), - ' - . De même

si, X étant un nombre fixe appartenant à l'intervalle (a, a), la fonction de y, z =f[x, y), déterminée dans l'intervalle (b, b'), y admet une dérivée, celle-ci s'appellera la dérivée partielle par rapport à y

de la fonction f {x, y) et se représentera par^J, ou r^-

Les suppositions faites sur la fonction /(x, y) impliquent la continuité de cette fonction, soit par rapport à x, soit par rapport à y, mais séparément ; on n'a pas supposé, jusqu'ici la continuité de la fonction des deux variables x, y dans l'ensemble (XY), au sens du n" 165.

Je me propose d'abord de montrer que les hypothèses que l'on a faites entraînent cette continuité au sens du n" 165, si l'on y ajoute la supposition que les fonctions /', f,^ sont bornées dans l'ensemble (XY) {').

Posons en effet, pour la commodité de ce qui va suivre,

fi = o(x,y), /;=:J;(x, y).

Soit (cCq, jo) un système de nombres appartenant à l'ensemble (XY). Soient enfin h, k des accroissements donnés à £Co» J'o tels que le système {x^ ~\- h, y^ h- h) appartienne comme [x^, jo) à l'ensemble (XY). Si l'on a <C a?o •< a, ^ ■< Jo < b' , ce que l'on pourrait exprimer en disant que le système {xq, Jo) est intérieur à l'ensemble (XY), il suffira, pour que le système {xo -+- h, jo + k) appartienne à l'ensemble (XY), que h et k soient suffisamment petits en valeur absolue. Notons, en passant, que si les systèmes [xq, Jo) et (iCo + h, yo ~{- k) appartiennent tous deux à l'ensemble (XY) , il en est certainement de même du système [xq H- c/.h, j,, + ^k) pourvu que a, p soient des nombres qui appartiennent à l'intervalle (o,i).

Ceci posé on a évidemment

/ (2^0 + ^. Jo + ^') — / (^0- Jo) =/(^o + ^^' Jo -^^) — f (^0 + ^' Je)

-4-y (xo + /i, Jo) — /(a-Q, j„)

(^) On verra plus tard qu'il en est nécessairement ainsi si ces fonctions sont continues dans l'ensemble (XY) ; c'est l'extension aux fonctions de deux variables d'un théorème établi au n° 160 pour les fonctions d'une variable.