CHAPITRE VI. FORMULE DES ACCROISSEMEMTS FINIS

La quantité/ (x-,, + A, j„ H- k) — / {x„ f h, j„) peut être regardée comme l'accroissement de la fonction (de j) f(x„ -+- h., y) quand on passe de la valeur j',, de cette variable à la valeur j„ + A; : on aura donc, par le premier théorème du n" 216, appliqué à celte fonction d'une variable, qui, dans l'intervalle [h, h') admet la dé rivée ']; {x^ + h, y),

f [x, + h, y^ + k) — / (j-o + !'• Jo) = I^ '\' (^0 + f^Jo -+- 1^/f).

en désignant par jS un nombre positif, plus petit que i. De même, la quantité f{xo 4- h, jo) — / {xo, jo) est l'accroissement de la fonction (de x)f{x, y a) quand on passe de la valeur Xo à la valeur £Go H- /t ; on a donc, parle même théorème,

/(Xo + h, Jo) — / (a-Q, Jo) = /i T (-ï-o + a/i, Jo).

en désignant par a un nombre compris entre o et i : on en déduit

/(a:,! -}- /i, Jo 4- k) —f[x^,y^) = k<h {x^ -+- /i, jo+ ^f<) + /i? {^o + a/t, Jo) :

si, par conséquent, M est un nombre positif auquel les fonctions di [x, j), ç {x, y) restent inférieures en valeur absolue dans l'ensemble (XY), on aura

I / (j-o + h, Jo + k) —/(xo, Jo) I < £, si l'on a

IM<i. IM<i-

La continuité est donc assurée.

Les fonctions /i, /[ ou © (x, y), <| {x, y), déterminées dans le même ensemble (XY) que la fonction /(x, y), peuventelles-mêmes donner naissance à des dérivées partielles prises par rapport à x et par rapport à y ; mon but est maintenant de démontrer que si les dérivé<îs partielles <|/^ et (p^ existent et sont continues, (au sens du n° 165))» elles sont égales.

Conservons les notations précédentes : on obtient le môme résultat en retranchant l'expression f[x -+- h, y) — f(x, y) de celle qu'on en déduit en y remplaçant y par y -h k, ou en retranchant l'expression / {x, j -} A-) — / {x, y) de celle qu'on en

déduit en y remplaçant x par x -+- h. L'expression

regardée comme une fonction de y seul, déterminée dans l'intervalle (6, b') admet la dérivée 'i* [xq -+- h, y) — (]; [X(„ y). Si donc on applique le premier théorème du n° 216 à la fonction /{xq, -\- h, y) — f{x^^, }'), on aura pour l'accroissement de cette fonction quand on passe de la valeur j^ de la variable à la valeur y^ + k,

f{Xo + /i, Jo + k) —f(Xf), Jo + k) —fi^o + /*. Jo) -l-/('ïj' Ju)

en désignant par |3 un nombre positif plus petit que i. Mais en vertu du même théorème, appliqué maintenant à la différence des valeurs que prend la fonction de x, ^b {x, y^ -h jS/c), quand on y remplace x par x,^ -+- h et par £Cq, le facteur qui multiplie A', dans le second membre, peut s'écrire h (j;^ [x^ -f- ah, y^ -h jSA), en désignant par a un nombre compris entre o et i : l'expression 'K (^0 ~^ ^-^*' Jo + fif^) signille valeur de la dérivée par rapport à X de la fonction d» (x, y), pour les valeurs respectives x^ -+- ah, y^ ■+■ jj/x àc X, y : On a donc finalement

/(•^o H- h, y, + A:) — /(.r„ Jo + k) — f (x, + h, jn) +/(^o. Jo) zr= h k'h'^ (xj + ah, Jo -h p/î).

Mais si, au lieu de partir de l'expression /(£C(,-i- A, y) — fi^o'ï) considérée comme une fonction de y, on était parti de l'expression f{x, 3'o -+- k) — /(ic, Jo) considérée comme une fonction de x, il est clair qu'on aurait mis le premier membre de l'égalité précédente sous la forme hkco'y (x^, + a' h, j^^ -+- f^'h) en désignant par a', j5' des nombres compris entre o et i comme a et p : on en conclut l'égalité

Vx (.To + a/i, Jo H- p/v) = <u'y (xo H- ce' h, jo + ^'k),

égalité qui subsiste quelque petits que soient les nombres h et k en valeur absolue ; elle subsistera certainement pour h et k nuls, c'està-dire qu'on aura

'Va- (^0. Yo) = ^'n i^o' Jo) •

CIIAPITtiTÎ VI. FORMULE DES ACCROISSEMENTS FIMS 30-

si les deux fonctions '|»!^ (^',^ sont conlinucs pour le système (.x„, y„) au sens qui a été précisé à la fin du n° 165. Si, en particulier, les deux fonctions <i>'^ et ^i/[ sont continues dans tout l'ensemble (XY), elles sont identiques dans cet ensemble,

Cette circonstance se présentera en particulier, quelque soit l'onscmble (X.Y), si la fonction / (a;, y\ est un polynôme ; les dérivées JJ. f',j de ce polynôme sont des polynômes, ainsi que les dérivées 'i/^ et (Dy : il n'y a aucune difficulté à former séparément ces deux polynômes, puis à constater leur identité.

Que l'égalité ^'^ = <p'y puisse être en défaut quand les deux fonctions 'Y^, 'sjy ne sont pas continues pour le système iKy, }'„, c'est ce que montre clairement (^) la fonction

/ (•^' y) = y- ai'c ig \ — ^' ai'c ig •[- •

Je supposerai, pour définir entièrement celte fonction, qu'une expression de la forme arc tg t est nulle quand a et h sont nuls,

qu'elle est égale à + 7 ou à quand h est nul, sans que a le

soit, suivant que a est positif ou négatif. Si A est un nombre positif quelconque, il est clair alors que la fonction y'(.c, j) sera définie dans l'ensemble (X\) dont les éléments sont des systèmes de deux nombres x, y qui vérifient les conditions — A ^ rc ^ A, — A ^ j ^ A. Le lecteur reconnaîtra sans peine que cette fonction y (x, j) admet les dérivées partielles du premier ordre

jl = cp [x, y) = y — IX arc tg •- , flj = 'l (x, y) = — .r H-2 y arc tg ^

qui sont définies dans le même ensemble ; ces formules conviennent encore quand les A^ariables x ou y sont nulles : c'est ce dont le lecteur se convaincra aisément ; il en est de même des formules

sauf dans le cas où l'on a à la fois x =z o, y =- o, cas oii ces for- (') ScHWARZ. — Ges. math. Abhandlungen, II, p, :i8o.

mules n'ont pas de sens. Il est d'ailleurs impossible d'attribuer à la

y2 __^ /Jfj2

fraction 2 — ï, pour a? = o, y = o; une signification telle qu'elle

soit continue pour ce système, car on peut faire tendre xet y vers G de façon que la fraction tende vers tel nombre qu'on veut, compris entre — i et -+- i ; quelle que soit la valeur qu'on lui attribue pour £c = o, j = G, la fraction sera discontinue pour ce système.

Toutefois, la fonction (p {x, y) a, quelque soit x, une dérivée par rapport à y ; pour 33 = 0, la fonction se réduit à y, dont la dérivée par rapport à j est i ; tp,^, pour x = o, y =^ o, se réduit à i ; de même d» {x, y), quel que soit y, a une dérivée par rapport à x ; pour j = o, '^ (x, y) se réduit à — x, dont la dérivée par rapport à a? est — I ; les deux dérivées (ûy, '|^ ne sont pas égales pour X =-- o, y = o.

Revenons au cas général, pour expliquer les notations usuelles. Les dérivées partielles de /^ par rapport à x, j se représentent les premières par

PII fl/2

J XXI Jx '

ôXôj'

la seconde par

fxy

ôXôj'

de même les dérivées partielles

de fy par rapport à x, y se repré

sentent, la première par

Jy^'

ôjôa;

la seconde par

Jyy Jy

Avec ces notations, le théorème précédent revient à dire que, sous les conditions de continuité précisées plus haut, on a ply=zfy^; sous ces conditions l'ordre dans lequel on prend les dérivées est indifférent.

Les notations précédentes, et la proposition relative à l'interversion s'étendent sans aucune difficulté aux dérivées partielles d'ordre supérieur au second, d'une part, aux fonctions de plus de deux variables, de l'autre. Je crois d'autant moins utile d'insister ici sur