CHAPITRE VI. l'OUMULE DES ACCROISSEMENTS FIMS

ces extensions que je n'en aurai guère besoin dans le présent ouvrage, où la considération des fonctions de deux variables n'est introduite qu'en vue de la théorie des fonctions d'une variable.

220. — Considérons une fonction f{ii, v) des deux variables II, V déterminée dans l'ensemble (UV) des systèmes de valeurs attribuées à ii, v qui satisfont aux inégalités

Je suppose que cette fonction admette des dérivées partielles f'u, /[. bornées dans l'ensemble (UV) ; elle est alors bornée dans cet ensemble : Supposons maintenant que ii et i' soient des fonctions de la variable x, déterminées dans l'intervalle (a, 6), admettant dans cet intervalle des dérivées ii' , v' , et que les bornes respectives de ces fonctions ii, v appartiennent respectivement aux intervalles (A, A'), (B, B). Il est clair que la fonction /(u, v), où l'on regarde II, V comme les fonctions de x que Ton vient de dire, est elle-même une fonction de x continue dans l'intervalle {a, b). Il est naturel de chercher si elle admet une dérivée par rapport à x.

Soient jîij,:*;^, -h /des valeurs de x appartenant à l'intervalle la, 6), soient «o et ii^ -+- h, v^ et Vg -+- k\ /{Uq, i\) et /(».(, -h h, Vq -+- k) les valeurs correspondantes des fonctions u, v, f{ii. v).

On aura, en attribuant encore à ç (h, v), 'i>{u, v) le même sens

qu'à /;„ /;

= kà{u, + h, V, + ?A-) + f{u, + h, v,)-f{u„ V,)

en désignant par ^ un nombre positif plus petit que i ; on aura donc

/(»o -^ h, r, + h)—J(ii^,Vg) , / 7 oi\k fin,, -A- h, !vO — /"(",-,, î'o) h

Si l'on suppose maintenant que / tende vers o, la limite du premier membre, si elle existe, sera la dérivée cherchée ; dans le

Tasneet I. — Introduction à la théorie des fonctions "24

3'nO n^TRODUCTION a la théorie des rONCTIOAS

second membre -, , et j ont certainement pour limites les valeurs

u'q,.v'q des fondions ii, v pour£c = a3o ; la quantité d» [Uç^-+-h, v^ -hpA;) a pour limite ^{u^, v^), si la fonction d; {ii,v) est continue pour le système {u^, v^), et la quantité

a pour limite la valeur, pour ii = ii^, de la dérivée, par rapport à II, âef{ii, Uq) considérée comme une fonction de ii (').

Si donc on ajoute aux suppositions déjà faites la supposition que Mune au moins des dérivées partielles /^,/u est continue dans l'ensemble (UV), on peut affirmer que la fonction f{ii, v), regardée comme une fonction de x, admet une dérivée dans l'intervalle (a, h) et que cette dérivée est

fun'-r-f.v'.

Considérons par exemple la fonctions'", on pourra prendre pour A A' deux nombres positifs quelconques et pour B et B' deux nombres quelconques ; les dérivées partielles par rapport à i! et au seront respectivement ua"~' et iV log ii : il est aisé de voir qu'elles sont continues pour chaque système de valeurs appartenant à l'ensemble (UV) ; on en conclut que si ii, v sont des fonctions de x définies dans l'intervalle (a, b), continues dans cet intervalle et y admettant des dérivées n', v', telles enfin que la première ii soit toujours positive et par conséquent supérieure à un nombre positif A^ la fonction de x, u", admettra pour dérivée dans l'intervalle [a, b),

u" ~ ' [vu' H- nv' log u).

Je n'insiste pas sur l'extension à des fonctions f'[ii, v, w, ...) de trois, quatre, ... variables u, v, w, ..., que l'on considère comme des fonctions de x, du théorème précédent, lequel, ainsi que le

(1) C'est pour mettre en évidence ce fait qu'on suppose seulement l'existence de cette dérivée, que je n'ai pas appliqué le théorème du n" 216 à l'expression y (uo + h, Vq) —J{uo, Vq). Quant à la petite difficulté tenant à ce que h pourrait être nul pour des valeurs de l aussi petites qu'on veut, on la lèvera comme au n° 212.

CH'U'ITRE VI. l'OHMUr.E DES ACCaOISSEMENTS IXMS .Sjl

lecteur n'a pas jnanquc clc s'en apercevoir, conslitue une extension du théorème du n" 212.

221. — Soit f[x, y) une fonction des deux variables x, y déterminée dans l'ensemble (XY) clcfmi par les égalités

admettant des dérivées partielles /^, f\j bornées dans l'ensemble (XY) et dont l'une au moins est continue dans cet ensemble (XY) ; on peut écrire, en désignant par {x, y), {x -\- h, y H- k) deux systèmes qui appartiennent à l'ensemble (XY) , l'égalité

f{x + h, y + k) =/(rr, j) -h hf,(x -+- Qh, y + Ok)

^ kf[(x ^ ^h, y + H'),

•où Q désigne un nombre positifplus petit que i ; /Ifx H- Oh, y -+- Sk) ■etf'y{x -+- 6h, y + Ôk) désignent les valeurs jrespectives des dérivées partielles/;,, fy pour les valeurs x -+- Oh, y + Ok des variables. Si l'on regarde en elTet œ, y, h, k comme des constantes, la dérivée (par rapport à t) de la fonction (de t) f{x -h ht, y + /.-/) sera, en vertu du théorème précédent,

hf {x -\-ht,y^ kl) + /^; (.r + /(/, y -^ kt),

et il suffit, pour obtenir l'égalité à démontrer, d'appliquer le théorème du n° 21 6 à l'accroissementde lafonction/(j3-r- A^ j+A/), quand on passe de la valeur o de la variable t à la valeur i .

Si, en conservant la même signification à la fonction [{j:, y), on savait que l'équation f{x, y) = o, pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle [a, a') contenu dans (A, A'), est vérifiée quand on y remplace }' par une fonction continue de x, y =■ 9 (a?), dont les valeurs appartiennent à l'intervalle l'B, B'), et qui admette une dérivée }'' =^ d {x), le théorème du numéro précédent donnerait immédiatement l'expression

de la dérivée y' de © [x) ; en effet, quand on regarde y comme étant égal à ip (a;), la fonction f{x, y) devient une fonction de x qui est nulle pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à Tinter-

872 i:XTRODUCTION A LA. THÉORIE DES FONCTIONS

valle (a, a') ; il doit donc en être de même de sa dérivée, et cette dérivée, d'après le numéro précédent, est /', H- y'f'y, d'où l'on déduit immédiatement la valeur de y', en supposant que/y soit diflerent de o.

Pour ce qui est de l'existence d'une fonction y = <p {oc) et de sa dérivée, la proposition qu'on va développer fournit tin renseignement essentiel. Je supposerai toujours la fonction f(x, y) déterminée dans l'ensemble (XY) qu'on a spécifié plus haut, je supposerai de plus qu'elle admet dans cet ensemble des dérivées partielles bornées et continues au sens du numéro i65 (').

Le lecteur pourra se représenter, ainsi qu'on l'a expliqué au 11° 172, le système (x, y) comme un point dont les coordonnées sont X, y. L'ensemble (XY) sera alors l'ensemble des points situés à l'intérieur et sur le contour d'un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes : de là l'expression système intérieur à l'ensemble, dont je me servirai plus loin, pour désigner un système (.;/;, y) dont les éléments vérifient les conditions A <C œ << A', B<j<B'.

Ceci posé, supposons que, pour le système (.r„, y,,), intérieur à l'ensemble (XY), on ait f{x^, y^) = o. La fonction /(x,,, y^) est déterminée aux environs du système (.«,,, y^). Supposons enfin que la dérivée partielle /'^ ne soit pas nulle pour x =^ x^, y = j^. Je vais montrer que, dans ces conditions, on peut regarder x^ comme le centre d'un intervalle [x^ — a, x^ -+- a) dans lequel il existe une fonction continue y = o (x), qui annule l'expression f[x, y) pour toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle considéré et qui se réduit à j^ pour x = Xf^. Celte fonction ® (x'), est entièrement déterminée par les conditions qui précèdent ; elle admet

f pour dérivée — jf •

Jy , Tout d'abord, puisque le système (x^, j^) est intérieur à l'ensemble (XY), on peut fixer deux nombres positifs a, |3 tels que les systèmes de nombres x, y qui vérifient les conditions

Ix — xj^a, Ij — roI^/3,

systèmes dont je désignerai l'ensemble par (XY)^, fassent partie

(1) On verra ullérleurcment qu'elles sont certainement bornées si elles sont continues.