CHAPITUE VI. FORMULE DES ACCROISSEMENTS FINIS ?)~Z

de l'ensemble (XY). Si l'on se place au point de vue géométrique, l'ensemble (XY),, est représenté par un rectangle contenu dans le rectangle qui représente l'ensemble (XY). Puisque la fonction // est continue, on peut supposer a, j^ assez petits pour que la diiTércncc entre les valeurs que prend cette fonction pour un système quelconque appartenant à l'ensemble (XY)„ diffèrent aussi peu que l'on veut de celle qu'elle prend pour ./; = x,„ y = y„ ; puisque cette dernière valeur n'est pas nulle, on peut supposer que la fonction /y conserve le même signe dans tout l'ensemble (XY)„, et reste, en valeur absolue, supérieure à un nombre positif P, convenablement choisi. D'autre part, la fonction/,,, étant bornée, reste inférieure en valeur absolue à un certain nombre positif M ; rien n'empêchant de remplacer par un nombre plus petit le nombre a que l'on a choisi tout d'abord, avec [-j, pour que ies conditions précédentes soient vérifiées, je supposerai dans ce qui su:t

a < |rr l^. La fonction y = '^ (x), qui doit annuler/(x, y), va être définie dans l'intervalle (x^ — a, x,, + a), et l'on prouvera qu'elle vérifie la condition j y — y„ 1 ■< i'5-

Pour définir la fonction '> (x), je montrerai que l'équation (en y) f(x, y) = o, oi^i l'on regarde x comme un nombre fixe appartenant à l'intervalle {x^ — a, x,, -h a), admet une racine et une seule, comprise entre y,, — fi et y, + fi : cette racine est la valeur qu'on attribuera à la fonction o (x), pour la valeur de x considérée. Tout d'abord, on reconnaît aisément que l'équation en y ne peut avoir plus d'une racine dans l'intervalle considéré ; sien effet elle en admettait deux, jiet y^, la dérivée partielle f'j{x, y), où, bien entendu, X a la valeur donnée, devrait d'après le théorème du n^ 215 s'annuler pour une valeur intermédiaire à }'i, y^, ce qui est contraire aux suppositions antérieures.

Ceci posé, si l'on fait x =z x^ + /i. }' = }'o + ^' ; en regardant toujours X, et par suite h, comme donnés, et en supposant que y appartienne à fintervalle (v^ — j3, yo -h ,S). on aura, puisque f{x„ jg est nul

mXRODUCTION A LA THEORIE DES FOIXGTIONS

B désigne un nombre compris entre o et i ; dans le dernier membre comme dans le second, les dérivées /i et/,^ doivent être remplacées par les valeurs que prennent ces fonctions pour x ■=^ x^^ -\- Oh,

Puisque le système {x^ -^ Ôh, j^ + Ok) appartient à l'ensemble partiel (X.Y)o, on a certainement

en sorte que le facteur j

"t? est du signe de t-, si l'on suppose

Jy '^

iM>p|/^

condition qui est compatible avec l'on a supposé

la supposition | k | <C /5, puisque P> p-«> p-l'il-

Si donc on attribue à A: deux valeurs de signes contraires k' et k" satisfaisant l'une et l'autre aux conditions

l'expression

fiï

prendra deux valeurs de signes contraires, puisque h/y ne change pas de signe. D'ailleurs, si l'on regarde l'expression /(cCg-f-Zi, }'o~^^) comme une fonction de la variable k, cette fonction est manifestement continue dans l'intervalle (//, A") ; elle s'annule donc pour une valeur Aj comprise entre k' et // et, par suite, plus petite que |3 en valeur absolue : c'est jy + k^ qui est la racine unique de l'équation (en y) f{x, y) = o, comprise entre j,, — [j et y^ -h /3, dont on a affirmé plus haut l'existence.

Ce qui précède suppose évidemment que h ne soit pas nul ; pour h = G, la seule valeur de k comprise entre — iS et + jS qui annule f{xo, Jo + k) est k = o.

CIIAPITUE VI. — FORMULE DES ACCUOISSEMENTS l'IMS 873

Si mainlcnant, pour chaque valeur de £c =^ x^ + h, appartenant a. l'intervalle (.x'o — a, x,^ -+■ ry.), on attribue à j la valeur de cette racine unique que l'on vient de spécifier, il est clair qu'on aura défini, dans l'intervalle [xo — a, Xq h- a), une fonction y = o(.x) qui, mise à la place de y dans la fonction /"(x, y), rendra cette fonction toujours nulle. La fonction ç;(,a;) se réduit à y„ pour x=:x^^. Elle est continue pour cette valeur ; en effet l'accroissement kl = ©(dîy 4- h) — 'p('^o) cle cette fonction quand on passe de x^, à £C(, -h h est inférieur à |j en valeur absolue ; le nombre positif fj

n est assujetti qu a la condition p >» -p- a, et pourvu que cette

condition reste vérifiée, rien n'empêche, dans les raisonnements précédents, de remplacer a. et [j par des nombres plus petits et même de les faire décroître indéfiniment : la continuité pour Xi = Xq est donc assurée.

Soit maintenant Xi une valeur de x intérieure à l'inten^afle (xq — a, Xq -i- a), et soit jt = ç;(£Ci). On peut raisonner sur Xi, ji comme on a fait sur x^, yo, déterminer deux nombres positifs oCi, 1^1 assez petits pour que l'ensemble (XY)i des systèmes de nombres x, y qui vérifient les conditions | x — Xi | ^ ai, \ y — Ji I S j^i soit contenu dans l'ensemble (XY),^. Au point de vue géométrique, l'ensemble (XY)i sera représenté par un rectangle intérieur au rectangle (XY)^. Puis, on pourra définir dans l'intervalle [Xi — ai, Xi -+- ai) une fonction y = çji (x) qui annule f{x, y), qui se réduit à ji pour x = xi, qui est continue pour cette dernière valeur, qui enfin vérifie la condition | y — Vi | <Cj'5i, et par conséquent la condition \ y — y^ | <C jS, puisque l'ensemble (XY)i est contenu dans rensemble (XY),, ; mais, pour une valeur de x appartenant à l'intervalle [xi — ai, Xi -+- ai), et par conséquent à l'intervalle (Xg — a^ x^^ -\- a), l'équation (en y), f{x, y) = o ne peut avoir deux racines distinctes ç; {x) et Si {x) satisfaisant à la condition | y — j,j | ■< /5 ; il faut donc que dans l'intervalle (xi — ai, Xi + ai), la fonction '^i(x) coïncide avec la fonction (û {x) ; celle-ci est donc continue en Xy et, par suite, pour toutes les valeurs de x intérieures à l'intervalle [x^ — a, x^ -i- a). On peut dire aussi bien qu'elle est continue dans tout l'intervalle, y compris les bornes, quitte à remplacer a par un nombre un peu plus petit ; mais, en modifiant légèrement le raisonnement précédent.

on voit sans peine qu'il n'est nullement nécessaire de restreindre l'intervalle.

Il reste à montrer que la fonction (p [x) est la seule fonction continue dans l'intervalle [x^ — a, x^ -+- a) qui annule f{x, y) et se réduise à y^ pour x = x^^. Observons que la fonction continue

P — 1 Cp{x) — Jo I

doit atteindre son minimum dans l'intervalle, et que, puisque cette fonction ne s'annule pas, il y a un nombre positif X auquel elle reste supérieure ou égale. Supposons maintenant qu'il existe une autre fonction ^ (x) satisfaisant aux conditions imposées k (p{x); puisque, pour une valeur de x appartenant à l'intervalle considéré, l'équation (en y), f{x, y) = o, ne peut avoir qu'une seule racine pour laquelle on ait ] y — y^ | << p, et que cette racine est y = o{x), il faudra que, pour une telle valeur de X, on ait soit é {x) = ^ (x), soit | d/{x) — y^ | ^fi', dans ce dernier cas, on aurait

l^^x) — (p[x)\ = \ [.]; (x) — Jo] — [ç [x) — Jo] 1

^\^{^)-jo\-\9(^)-yo\»^-

La fonction ^\i{x) — © [x) étant continue dans l'intervalle considéré, la proposition énoncée résulte évidemment du lemme suivant, que l'on aura plusieurs fois l'occasion d'appliquer.

Soit g {x) une fonction dont on sait qu'elle est continue dans l'intervalle (c, d) ; que, pour chaque valeur de x appartenant à cet intervalle, elle est soit nulle, soit égale ou supérieure au nombre positif X, en valeur absolue ; enfin qu'elle est nulle pour une valeur X(, de l'intervalle : on peut affirmer que la fonction g (ce) est nulle dans tout l'intervalle (c, d).

On peut en effet diviser cet intervalle en intervalles partiels assez petits pour que, dans chacun d'eux, l'écart de g {x) soit moindre que X; dans chaque intervalle partiel, la fonction \ g{x) \ est, ou bien nulle, ou bien supérieure ou égale à X ; elle est nulle dans celui qui contient Xq, aux bornes de cet intervalle, dans les intervalles contigus, etc..