CHAPITRE \l. l'OUMULE DES ACGUOISSEMENTS FIMS

Enfin la fonction (^ (x) admet, pour x = x,j, une dérivée égale à

f'r fao, .y„)

comme il résulte immédiatement de l'égalité (i) quand on suppose f{xo -+- h, jo + A) nul ; on en tire en effet

k fL G^o -+- ^h, y, + e/t ) h J'y{x, + %h,y, + ^ky

et la proposition est évidente, à cause de la continuité des dérivées

partielles/^, f'y.

Les raisonnements précédents montrent de suite que l'expression

f — iL? donne les valeurs de la dérivée de © {x) pour toutes les

Jy

valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle {x^ — a, a;^ -H a).

A la vérité, la fonction 7 = 9 (a?) n'a été définie que dans le petit intervalle {x^^ — a, x^ -\- a) ; mais il est clair qu'on peut la prolonger ; si l'on pose maintenant a^i = a;,, H- a, Ji = © {xv), la dérivée partielle f'y n'étant pas nulle pour x = Xi, j = ji, on pourra définir dans les environs de Xi, une fonction continue Oi{x), annulant/(a;, j) et se réduisant à jt pour a? ;= Xi ; on voit comme précédemment que pour les valeurs de x un peu plus petites que Xi, (pi (x) coïncide avec © (x) ; pour les valeurs de x un peu plus grandes que a: 1 , on adoptera pour y la détermination (pi{x), en sorte qu'on aura déterminé, dans un intervalle plus étendu, une fonction continue, annulant f{x, y), se réduisant à jo pour X = Xf^, etc. Sans que je m'arrête davantage sur ce sujet, on conçoit qu'on puisse définir une fonction y de x, jouissant de ces mêmes propriétés dans un intervalle borné par deux nombres a, a' auxquels correspondent les valeurs b, b' dey et tels que les systèmes {a, b), ou (a', b'), tout en appartenant encore à l'ensemble (XY), ne soient plus intérieurs à cet ensemble, ou tels encore que la dérivée partielle/;' s'annule pour l'un de ces systèmes; toutefois ces cas limites demandent une étude particulière. ,

Laissant maintenant de côté les règles relatives au calcul, je vais montrer le parti qu'on peut tirer des dérivées pour l'étude des fonctions.