III. — ÉTUDE DES FONCTIONS AU MOYEN DES DERIVEES

222. — Soit/(a;) une fonction admettant dans l'intervalle (a, 6) une dérivée/' (x), il résulte immédiatement de la définition de la dérivée que si la fonction /(j:) est constante dans l'intervalle (a, b)^ la dérivée /' (x) est nulle pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à cet intervalle, que si, dans ce même intervalle, la fonction f{x) est croissante, la dérivée/' (x) n'est jamais négative, puisque le rapport

fix-^h)-f{x)

étant jDOsitif, sa limite, pour h = o, ne peut être négative ; enfin que, si la fonction f{x) est décroissante, la dérivée f (x) n'est jamais positive.

On est tenté de regarder comme évidentes les réciproques de ces théorèmes ; cela serait légitime s'il était vrai qu'un intervalle (a, b) pût toujours être décomposé en un nombre fini d'intervalles partiels tels que dans chacun d'eux la fonction f(x) fût ou constante, ou croissante, ou décroissante ; c'est la fausseté, que l'on a mise hors de doute, de cette supposition, qui rend nécessaire la démonstration des théorèmes suivants.

1° Si la fonction /(x) admet dans l'intervalle (a, 6) une dérivée /' [x) et si cette dérivée est constamment nulle, la fonction f{x) est constante dans l'intervalle (a, b).

Soient en effet Xy, x.^ deux valeurs quelconques qui appartiennent à cet intervalle, on aura (n° 216)

en désignant par H un nombre compris entre x., et x^\ mais, par hypothèse, /' (^) est nul; on a donc/(x2) ^=f{x^.

La fonction f[x) conserve toujours la même valeur dans l'intervalle [a, b); cette valeur est nécessairement f{a) =f{b).

2° Si la fonction f{x) admet dans l'intervalle (a, b) une dérivée f{x), si, dans cet intervalle, cette dérivée n'est jamais négative, si enfin elle n'est pas nulle pour toutes les valeurs de x qui appar-