CHAPITRE I. FUACTIO>S CONTOLES

dont les Aalcurs soient égales, puisque la suite des quotients incomplets est eulièrenient déterminée par la valeur de la fraction.

Au reste, si l'on emploie les mêmes notations pour désigner les éléments analogues formés avec les deux suites, mais en accentuant les lettres qui se rapportent à la seconde, on voit que si l'on suppose d'abord

et par suite

puis A'„ >> A„, les égalités

montrent que A' est plus grand ou plus petit que A suivant que n est pair ou impair. On peut donc reconnaître l'ordre de grandeur de deux nombres sur leurs développements en fraction continue, comme sur leur représentation décimale.

39. — Si une fraction à termes entiers '- approclie plus d'un

nombre A que la n^ réduite y^, le dénominateur q de cet'e fraction

est plus grand que Q„, (on suppose q positif). L'inéûalité

traduit la supposition que l'on a faite. Puisque A est compris

Ph Pn —

entre -^ et ^ — ^ et qu'il approche plus de la première réduite que

Un V"— l

delà seconde, puisque, enfin. ^- approche plus de A que ^-c-", il faut

que-'- soit compris entre ~ et ~ — ^: sa différence avec l'une ou

'1 Qn Q„i

1 autre des deux fractions est donc moindre en valeur absolue que

56 raTRODUCïIO>^ A LA THÉORIE DES F05CTI0>^S

leur différence mutuelle, et l'on a

pQ„i — 7P„-i| I .

mais comme le nombre positif |/jQ,i i — ^P„il, qui ne peut être nul puisque les deux fractions '-, -—^^^=^ ne sont pas égales,

est au moins égal à un, il faut que '/Q» — ! soit plus grand que QnQn^i, c'est-à-dire que q soit plus grand que Q„.

40. — La condition nécessaire et suffisante pour que deux nombres irrationnels x et x' donnent naissance à deux fractions continues illimitées telles que la suite des quotients incomplets prise dans la première à partir d'un certain rang soit identique à la suite des quotients incomplets prise dans la seconde à partir d'un certain rang est qu'il y ait entre les nombres x, x' une relation de la forme

où a, jj, y, r) sont des nombres entiers, que l'on peut évidemment supposer sans diviseur commun, et qui, alors, doivent vérifier la relation

KO Py = — I-

Soient en effet

«(,, «|, •••, «n, ..., Ou' f'i' •••) ff'' •••'

les deux suites de quotients incomplets auxquelles donne naissance le développement des irrationnelles x, x' en fractions continues ; supposons que l'on ait

et reprenons les notations habituelles en accentuant les lettres qui se rapportent à la seconde suite. D'après ce qu'on a dit au n° 38, A;, sera égal à A'^ et Ton aura

CIIAPimE I. FRACTIONS CONTINUES 67

En éliminant A,, entre ces deux équations, on trouvera entre x et ;// une relation de la forme

et l'on obtient sans peine, en se servant des expressions trouvées pour les nombres a, [j, '/, f) an moyen de l\, — i, l^,,--,, •.-, Q''i — >, la relation

La condition imposée est donc nécessaire : on va voir qu'elle est suffisante.

Supposons en elTct que les deux nombres irrationnels x', x soient liées par la relation

, ace H- P 7 a: -h 0

cil a, jj, y, r) sont des entiers qui vérifient la condition

ao — Py = ± I.

Développons x en fraction continue et soit, en conservant toujours les mêmes notations,

V« — 1 -^1 ~f~ Vn — 2

On en conclura

, __ «A„ -f- b cA„ -+- d ' en posant

c = yP„ i -H ÔQ„. j , dr= yP„ j H- oQ„ i :

on vérifie de suite que l'on a

ad — bc. = (ao - Py) (P»-i Q«-2 — P„iQ«,) = ± I,

d'ovi il suit, en particulier, que a et c sont premiers entre eux. iMon but est de montrer que, en supposant n assez grand, si l'on

développe - en fraction continue limitée, -, peut être regardé

comme l'aYant-dernière réduite de cette fraction contimie, dont- est

la dernière réduite ; s'il en est ainsi, la relation entre x' et A„ montre' clairement que la fraction continue illimitée dont les premiersquotients incomplets sont ceux de la fraction continue limitée

obtenue par le développement de -, dont les quotients incomplets

suivants sont ceux qui figurent dans le développement de A„, est égale à x' \ le théorème énoncé sera donc complètement établi,.

, . , « 6 quand on aura prouve la proposition relative a -, -,,

Les dénominateurs des réduites étant essentiellement positifs, et allant d'ailleurs en croissant, il faudra pour établir cette dernièreproposition, montrer que l'on peut supposer o <i d <i c\ cela

d'ailleurs suffit : car s'il en est ainsi, la fraction irréductible -

pourra être développée en fraction continue limitée avec un

nombre pair ou impair de quotients incomplets (n° 33), telle par

/ ' conséquent que, en désignant par -r, l'avant dernière réduite, la. '

quantité aâ! — h'c égale à zt i , comme ad — hc, soit précisément égale à cette dernière quantité, en sorte que l'on ait a{d — d) ^= c[b — 6') ; le nombre c, premier avec a, doit diviser d — d', mais le dénominateur d' dte l'avant dernière réduite est plus petit que c; si donc (/ est aussi plus petit que c, c ne peut diviser la différence d — d', à moins que cette différence nesoit nulle ; l'égalité précédente exige que l'on ait aussi b' = b et

—, est bien l'avant dernière réduite de la fraction continue égale à - -

Tout est donc ramené à montrer que l'on peut, pour n suffisamment grand, supposer o <C. d <C c.

Or, quand n est très grand, les deux quantités

-, 'c r„ — 1 ^ a • i- V — 2 , 'N A = j. = Y ^ ho, ij. = ^ = Y -^ + 0,.

Vn— 1 Vn— 1 \ln — 2 Vn — 2

sont très voisines de ç =^ "/x -^ r) ; on a en effet

I ^^ " n < TT^' 1 1^- - ^'i< — ^-