CHAPITRE VI. ÉTUDE DES FONCTIONS S/Q
tiennent à un inlervalle {a, U) conlenu dans l'intervalle (a, h), la fonction /{.>:) est croissante dans rintervalic {a, h).
Soient encore Xi, :c., deux valeurs quelconques appartenant à
l'intervalle (a, b) et soit cci <C x.^ ; l'égalilé ( i) montre, puisque la
quantité/" Çz) est positive ou nulle, que l'on af(xi) ^/(x^). Mais,.
dans l'intervalle (xi, x-,) la fonction fix) ne peut être constante,
puisque la fonction f (x) n'est pas constamment nulle dans cet
intervalle ; il existe donc un nombre x' compris entre Xi et x.^ tel
que la valeur de f(x') diffère au moins de l'une des quantités
f(Xt),f{x^); les quantités Xi, x', x., étant d'ailleurs rangées par
ordre de grandeur, on a f(Xi)^f(x')^J(x.2); comme les deux
égalités ne peuvent avoir lieu simultanément, il faut que l'on ait
/{ ''-i) < /(a%). C'est ce qu'il fallait établir ; on prouvera de la
même façon le tbéorème suivant.
3° Si, dans l'intervalle (a, b), la fonction /(x) admet une dérivée f (x) qui ne soit jamais positive, si cette dérivée n'est pas nulle pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à un intervalle (a', b) compris dans l'intervalle (a, 6), la fonction f(x) est décroissante dans ce dernier intervalle.
223. — Si une fonction /(:/;) est définie dans l'intervalle (a, b), on dit qu'elle admet un maximum pour la valeur £ attribuée à x^ valeur appartenant à l'intervalle (a, b), mais distincte des limites a, b, s'il existe un nombre positif £ tel que l'on ait, pour toutes les valeurs de h autres que o et inférieures à ; en valeur absolue,
si, dans les mêmes conditions, on avait
on dirait que la fonction /(x) admet un minimum pour x = z. Si la fonction y (j:) admet un maximum ou un minimum pour X = z, et si pour cette même valeur elle a une dérivée, cette dérivée est nulle ; cela résulte du raisonnement employé au n° 215 : pour h positif et suffisamment petit les deux rapports
38o INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS
finissent par être certainement de signes contraires ; leur limite commune, pour h = o, est donc nulle.
Si donc la fonction f[x) admet une dérivée dans l'intervalle {a, h), on devra chercher les valeurs de x qui lui font acquérir un maximum ou un minimum parmi celles qui annulent la dérivée ; mais le choix et la distinction de ces valeurs exigent une étude plus approfondie.
224. — Le cas le plus simple est celui où, la fonction f{x) étant continue dans l'intervalle (a, b), cet intervalle peut être partagé en un nombre fini d'intervalles partiels tels que dans chacun d'eux la fonction varie toujours dans le même sens ; si, par exemple, la fonction est croissante dans un intervalle et décroissante dans l'intervalle suivant, il est clair qu'elle présentera un maximum pour la limite commune aux deux intervalles ; on dit que, pour cette valeur, elle cesse de croître pour décroître ensuite ; de même, si la fonction est décroissante dans un intervalle et croissante dans l'intervalle suivant, elle passe par un minimum pour la valeur de la variable égale à la borne commune des deux intervalles.
On est certain d'être dans ce cas si, dans l'intervalle (a, 6), la fonction f{x) admet une dérivée et si l'intervalle (a, 6) peut être divisé en un nombre fini d'intervalles partiels, tels que dans chacun d'eux la dérivée/' (ic) ait un signe déterminé; si dans un intervalle partiel la dérivée est positive, la fonction est croissante, etc. Peu importe d'ailleurs que dans un intervalle partiel la dérivée s'annule, pourvu qu'elle ne change pas de signe et qu'elle ne soit pas nulle pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à un intervalle fini.
Les valeurs qui fournissent les maxima sont alors caractérisées par ce fait que la dérivée y est nulle, qu'elle est positive pour les valeurs plus petites, négative pour les valeurs plus grandes ; de même pour les valeurs qui fournissent les minima, la dérivée est nulle et passe du négatif au positif.
Par exemple l'expression [x x'^ — 3 x^ — m, o\x m est une constante, admet une dérivée dans tout intervalle ; cette dérivée est I2J32 (i — x) ; elle est positive pour toutes les valeurs de x inférieures à I, négative, pour toutes les valeurs de x supérieures à i ;
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la fonction proposée est donc croissante dans l'intervalle ( — ^ , i), en désignant par ce symbole un intervalle dont la limite inférieure est un nombre négatif aussi grand qu'on le veut en valeur absolue; elle est décroissante dans l'intervalle (i, -+■ oo ), elle passe par un maximum pour x = i, ce maximum est i — m; d'ailleurs pour x = H- oo , la fonction est égale à — c/o ; en résumé, cpiand x croît de — 00 à I, la fonction croît de — ^c à i — m, et quand X croît de i à + oo , la fonction décroît de i — ma — ce ; on conclut de là que, si i — m est positif, la fonction 4 x'^ — 3 x'' — m s'annule pour une valeur de x inférieure à i et pour une valeur de X supérieure à i, et seulement pour ces valeurs ; que, si l'on a m = I, la fonction s'annule pour .r = i et seulement pour cette valeur ; enfm que, si i — m est négatif, la fonction ne s'annule pour aucune valeur de x.
225. — Il peut se faire que, dans l'intervalle où on la considère, la fonction f{x), que je suppose toujours continue, admette une dérivée, sauf pour quelques valeurs exceptionnelles ; une telle valeur x' sépare alors deux intervalles partiels (xi, x'), (x' , Xo) tels que la dérivée existe pour tous les nombres qui appartiennent à l'un ou à l'autre des deux intervalles, sauf toutefois pour le nombre x' ; si la dérivée a le même signe pour toutes les valeurs de la variable qui appartiennent au premier intervalle, si, par exemple, la dérivée est positive pour les valeurs de x comprises entre ic, et x' , on peut affirmer que la fonction y (.r) est croissante dans l'intervalle (.r^, x'), sans exclure les limites de cet intervalle ; en effet le théorème du n° 216 subsiste alors, ainsi qu'on en a fait l'observation ; il en est de même de ses conséquences. Si, de même, la dérivée est négative dans l'intervalle [x', x.2), la fonction sera décroissante dans cet intervalle et présentera un maximum pour X ^= x' ; elle aurait passé par un minimum pour cette même valeur si la dérivée était négative dans le premier intervalle, positive dans le second ; elle varierait dans le môme sens dans tout l'intervalle {x^, x.^) si la dérivée avait le même signe pour toutes les valeurs de j: appartenant à cet intervalle, les nombres Xi, x' , x.^ étant exceptés au besoin.
Par exemple la fonction y = (v^x)% continue dans tout intervalle, n'admet pas de dérivée pour x = o, pour toute autre valeur
de X elle a pour dérivée
pour X ^ G, la fonction y passe par un minimum.
226. — On voit d'après cela la marche à suivre pour étudier la variation d'une fonction donnée par son expression analytique. On décomposera d'abord l'ensemble des valeurs de x, de — ce à + 00, en intervalles partiels tels que, dans chacun d'eux, la fonction soit définie et continue ; les bornes de ces intervalles pourront être des valeurs de x au delà ou en deçà desquelles l'expression donnée n'aura plus de sens ; de telles valeurs se présenteront par exemple •quand l'expression contiendra des radicaux à indices pairs, des logarithmes, des fonctions circulaires inverses, etc. ; ces bornes pourront encore être des valeurs pour laquelle la fonction est discontinue, ou des nombres aussi voisins que l'on voudra de certaines valeurs isolées de la variable, telles que x = o pour la fonction — , pour lesquelles l'expression considérée n'a pas de sens, mais
dans le voisinage desquelles elle grandit indéfiniment, ce que l'on exprime brièvement en disant que la fonction devient infinie. On se livrera à une étude analogue pour la dérivée, en se limitant toutefois aux valeurs de la variable qui appartiennent aux intervalles qu'il y a lieu de considérer, d'après l'étude préliminaire que l'on a faite de la fonction ; mais, cette fois, on portera essentiellement l'attention sur les valeurs de la variable pour lesquelles la dérivée change de signe, soit qu'elle s'annule, soit qu'elle cesse d'exister en devenant infinie, ou tout autrement. Ces nombres limiteront ainsi des intervalles pour lesquelles la dérivée conservera un signe constant. Les nombres qui bornent des intervalles soit pour la fonction proposée, soit pour la dérivée, étant ensuite rangés par ordre de grandeur^ on se trouve avoir décomposé le champ de la variable x en intervalles partiels pour lesquels on peut appliquer les théorèmes du n° 222 ; à l'aide de ces théorèmes et des remarques contenues dans les numéros suivants, on parvient à avoir une idée nette de la marche de la fonction.
Soit par exemple la fonction
