CHAPITRE VI. KTUDE DKS FONCTIONS

elle n'a de sens ni pour les valeurs cle x plus petites que — h, ni pour x= o ; sa dérivée, pour les autres valeurs de x, est

elle est positive pour x <^ — 2, négative pour x compris entre — 2 ■et l\, positive pour a^ >> 4 ; si l'on désigne par z un nombre positif, aussi petit que l'on veut, la fonction est continue de — W — s, de -h s à -+- 00 ; si l'on considère la suite des nombres

et que l'on exclue l'intervalle ( — s, + s), la fonction sera continue €t admettra (sauf pour a? = — l\) une dérivée de signe constant dans chacun des autres intervalles. On en conclut que lorsque x

varie de — /j à — 2, la fonction augmente de o à i/- , qu'elle diminue depuis cette valeur jusqu'à

(i) e-{\lk—'-

«quand x varie de — 2 a — s, qu'elle diminue encore depuis

(2) eM/4 + £

jusqu'à e'^ y% quand x varie de z jusqu'à -+- !\, enfin qu'elle augmente quand x varie depuis -f- l\ jusqu'à H- co .

Il reste à avoir des valeurs approchées des nombres (i) et (2) pour c positif et très petit ; on les déduit des formules

.à /4 + e = v^m (ï -+- 7 -^ ri à + •••) ;

la première, où le dénominateur peut être supposé aussi crand qu'on le veut, montre que lorsque i tend vers zéro, l'expression (i) a pour limite zéro ; on voit de même que lorsque s tend vers zéro,

l'expression (2) augmente indéfiniment par valeurs positives ; c'est ce qu'on exprime plus brièvement en disant que, x croissant de — 2

à zéro, y diminue depuis V/ - jusqu'à o, et que, x croissant dedepuis o jusqu'à -f- 4» }' diminue depuis + 00 jusqu'à la valeur Ci y 8. Des deux valeurs v/~ et e^ \/8, la première est un maximum correspondant à la valeur x = — 2, la seconde est un minimum correspondant à la valeur x = ^ ; enfin on voit de suite que lorsque x augmente indéfiniment par valeurs positives, il en est de même de y.

111 . — Il est quelquefois commode, pour reconnaître si une valeur a de a; qui annule la dérivée /' {x) d'une fonction f {x) fait acquérir à cette fonction un maximum ou un minimum, de recourir à la dérivée seconde/" {x), à supposer qu'elle existe. Si/" (a) est un nombre positif et si la fonction /" (x) est encore positive pour les valeurs voisines de a, ce qui arrivera assurément si elle est continue, on voit que, dans un petit intervalle comprenant a, la fonction/' {x) sera croissante ; puisqu'elle s'annule pour œ = a, elle passe pour cette valeur du négatif au positif, il en résulte que, pour x-^a, la fonction /(aj) présente un minimum. De même, si pour £c = a, le nombre/" (a) est négatif et si la fonction/" {x) est continue pour X = a, on voit que, pour œ = a, la fonction / (a;) présente un maximum. Si l'on a/" (a) = o, on pourra recourir à la dérivée troisième ; si celle-ci n'est pas nulle pour x = a et est continue pour cette valeur, elle conservera le même signe dans un petit intervalle comprenant le nombre a ; dans cet intervalle la fonction /" {x) croîtra constamment ou décroîtra constamment ; puisqu'elle s'annule pour œ = a, elle cliangera de signe en s'annulant; la fonction /' {x) admettra donc un maximum ou un minimum pour x = a ; comme elle est nulle pour ce = a, on voit que, dans un petit intervalle comprenant ce nombre, elle reste négative ou nulle si x = a correspond à un maximum de / (x), positive ou nulle si x= a corre'spond à un minimum de /' (x) ; dans le premier cas la fonction/ (x) est décroissante dans ce même intervalle, dans le second cas elle est croissante : elle ne présente, pour x = a, ni maximum ni minimum. Si l'on a/" (a) = o, on recourra à la dérivée