CHAPITRE VI. ÉTUDE DES FONCTIONS

quatrième /"' (x) et l'on verra sans peine que, suivant que l'on aura

la fonction /(x) admettra, pour x = a, un maximum ou im minimum, pourvu toutefois que la fonction/"' soit continue pour X = a. Si l'on avait /"' {a) = o, on pourrait recourir à la dérivée cinquième, etc. On peut, en admettant l'existence et la continuité des dérivées successives /' (.x;), /' [x), f"' [x), ... de la fonction f{x), pour x = a, formuler la règle suivante : Si pour X ^ a la dérivée/' (./;) est nulle ainsi que quelques-unes de celles qui la suivent, la fonction f(x) n'admet, pour x = a, ni maximum, ni minimum lorsque la première dérivée qui ne s'annule pas est d'ordre impair ; si la première dérivée qui ne s'annule pas est d'ordre pair, la valeur x =^ a correspond à un maximum ou à un minimum, selon que cette dérivée est négative ou positive. Au reste, cette conclusion se retrouvera tout à l'heure.

228. — Les importantes propositions établies dans les n"* 215 et 216 peuvent être généralisées de différentes façons. Voici, d'abord, une généralisation du théorème du n" 216 qui, outre son utilité propre, éclaire la notion de la dérivée n" (').

Soit f {x) une fonction qui, dans l'intervalle [a, b), admette des dérivées première et seconde,/' (x) et/" [x).

Soit Xo un nombre appartenant à l'intervalle (a, b) et Aj, h.^, deux nombres tels que Xo -h /tj, J?^ ■+ h.y, x^^ -f- h^ -+- h^ appartiennent aussi au même intervalle ; posons

/(.r)=/(.r + /0-/'GT);

la fonction (de x) / (x), admettra une dérivée dans l'intervalle (cCq, x , ^2) ^t cette dérivée sera

ceci posé on a, en désignant par O.2 un nombre compris entre o et i, {') Je dois ce numéro à M. Dardoux.

Tannebt I — Intioiiuction à la Ibéorie des fonctions 25

Or, en A^ertu de la même formule, la quantité entre crochets peut être remplacée par h^f" (x^ H- Q^ h^ -h Ojii), en désignant par Si un nombre compris entre o et i ; on aura donc fmalement

= h,KJ"{x,-^\h,-^^,h,).

0n trouvera de même, en supposant que dans l'intervalle (a, h), îa'. fonction /(j;) admette des dérivées jusqu'au it ordre /' (a:), f [x], ...,/('0(x), et que les nombres

^0 + ^*i "t~ ^'2 + ... /'« appartiennent, ainsi que x^^, à l'intervalle (a, 6),

/(a-5 -H /ij -4- A, + ... -^ /i„) — ^/(a^o + ^^i + ^'2 + ••• + K-i) + ¥i ^0 -+- /' i -+ /'2 + • • • + /»«-2) — • . . ± y {ce, -H AJ =F /(xj = hji.^ ... /(„/('0 (.r^ -\- Qji^ 4- 0,A, + ... H- QJi,,) :

dans le second membre, 6^, Q^i •••' ^jî désignent des nombres compris entre o et i ; dans le premier membre, chaque sommation s'étend à tous les termes qui se déduisent du terme écrit en remplaçant la suite des indices par les autres combinaisons, du même ordre, des nombres i, 2, ..., /i.

Si la fonction /(") [x) est continue pour x ^ sCq, on voit que le premier membre, divisé par h^, h^ ... /t„, a pour limite /i") {x^ quand les quantités h^, h^, ,:., A„ tendent vers zéro ; d'une façon plus-précise, si l'on désigne par '^ {xq, h^, h.^, ,.., hn) ce premier membre, on peut afQrmer qu'à chaque nombre positif s correspond un nombre positif yj tel que l'on ait

■KV" .••''"'-/"' M

hji^ ... K sous les conditions

o < 1 Ai I <-iri, (i= I, 2, ... n]