CHAPITRE VI. ÉTUDE DES FONCTIONS 38j

Si l'on suppose (i) h^ =^. h^ = ... = /«„= h^ et si l'on supprime l'indice o qui alï'cclc x, on trouve

±:iV(.r + /0 +/(..) = h''f[n)(x + On//),

en désignant par 5 un nombre compris entre o et i. Le premier membre est la différence if de la fonction / (a;) pour la suite de valeurs en progression arithmétique

X, X -\- h, X -\- 2h, ..., X -\- nh

de la A^ariable : on la représente souvent par le symbole \^f(x) ; on pose ainsi

\'f{x) = A/ {X + h) - A/ (x) =f [x + 2/0 -2f(x-^ h) -h r{x) A!/ (^) = A^/ (x + /O - Ay (a-) = / (x + 3/0 - 3/ (rc + 2/^)

Dans le même symbolisme, h qui est la différence de deux valeurs consécutives de la variable, se représente par Ax, et Ton voit que la dérivée n^ peut être regardée comme la limite de l'expression

(Aj-)"

c[uand h ou Ax tend vers o ; la notation -7 „ pour représenter la dérivée n° est en quelque sorte le résidu de cette remarque.

229. — Si la fonction /(x) admet une dérivée dans l'intervalle (a, b) et si les nombres jîj, x,, appartiennent à cet intervalle, il v aune racine de/' (x) comprise entre JCj etx.^; supposons que la fonction / (.r) s'annule pour les valeurs .r^ a:^' ^3 de la variable, que je suppose toujours appartenir à l'intervalle [a, b) et que je suppose en outre, rangées par ordre de grandeur ; il y aura une racine ç, de/' (x) entre Xi, x., et une autre racine =, entre x., et

Xg ; si donc la fonction/' (x) admet une dérivée/" (x) dans l'intervalle (a, b), f" {x) s'annulera pour une valeur de x comprise entre ^, et Sj, par suite entre Xi et x., ; il est clair qu'on peut continuer ainsi et énoncer de suite le théorème suivant :

Si, dans l'intervalle (a, b), la fonction f[x) admet des dérivées jusqu'au (/i — l)^.. ordre, inclasivement et si elle s'annule pour les n nombres distincts £Cj, x^, ..., x,i appartenant à cet intervalle, il ^ a une valeur de x, comprise entre le plus petit et le plus grand des nombres x^, x^, ,.., Xn, pour laquelle /(" — ^) {x) s'annule. Cette proposition peut se généraliser encore. Supposons que pour x = x^ et pour x ^ x.^ la fonction /(y?) s'annule et que, en outre, la dérivée /'(.r) s'annule pour x = ajj ; alors /' {x) s'annule pour un nombre ç^ compris x^ et x., ; mais /' (jî) s'annulant pour œ = œ^ et x = ^i, il faut que/" (.r) s'annule pour un nombre Sj compris entre x^ et |] et, par suite entre x^ et x^ ; on voit que le nombre a?j, parce qu'il annule non seulement /(a*) mais encore/' (x), joue en quelque sorte le rôle de deux racines ; c'est une circonstance qu'on a observée déjà pour les polynômes. Les remarques qu'on vient de faire conduisent immédiatement à la proposition que voici, et suffisent, avec un peu de réflexion, pour en reconnaître la vérité.

Soient x^^, x,, . ., j*„ n nombres distincts, auxquels correspondent les nombres naturels a^, a.^, .--, cz-n ; je suppose que Xi {i = i, 2, ..., n) annule la fonction f{x) et ses a; — i premières dérivées ; si ry.i était égal à i, il faudrait entendre simplement que a?, annule/(j;). Il existe un nombre x compris entre le plus petit et le plus grand des nombres x^, x.2, ..., Xn qui annule la dérivée de f{x) d'ordre a, + ^2 H- ... 4- (/.n — i.

La proposition suppose que la fonction /(.r) admette des dérivées jusqu'à l'ordre a^ -+- a> -î- ... -t- ce,, — i inclusivement, dans un intervalle dont les bornes sont respectivement le plus grand et le plus petit des nombres x^, x->, ..., a?„. Il est même bien aisé de voir, en remontant les raisonnements précédents et en se reportant au n" 215, que si l'on est assuré de la continuité, dans tout l'intervalle considéré, de la dérivée d'ordre ai H- a> -f- ... +a« — 2, l'existence de la dérivée d'ordre cci + c^-^ 4- ... -+- a.,, — i n'est nécessaire pour la validité du théorème qu'à Vintérieur de cet intervalle. Il est à peine utile de dire que l'existence de la dérivée