CHAPITRE VI. ÉTUDE UKS FONCTIONS SSq

d'ordre 7.^ + a^ -h . H- 7.,,. — i dans loiiL l'intervalle implique l'existence et la conlinuilc dans ce même intervalle des dérivées d'ordre moindre.

230. — Supposons que, dans l'intervalle [a, h) auquel appartiennent les nombres x\, Xi, ..., x„, la fonction f[x) admette des dérivées jusqu'à l'ordre ;>=: a. i -h (/->-+-.■■ -{- c/.„, inclusivement, On a vu au n" 174 comment on pouvait construire un polynôme P [x) de degré inférieur à y), qui pour a; =zXi{i= i , a, . . . , n), prenait, lui et ses a» — i premières dérivées, les mêmes valeurs respectives que la fonction f{x) et ses a^ — i premières dérivées, en sorte que pour x = .x, la différence f(x) — P ix) soit nulle ainsi que ses a; — I premières dérivées. Dans un grand nombre de cas, ce polynôme fournit une valeur approchée de f(x) pour les valeurs de X qui sont comprises entre le plus grand et le plus petit des nombres Xi, x>, .... «„ (interpolation). Le théorème précédent fournit une expression, qui peut être utile, de l'erreur que l'on commet ainsi, pour une valeur donnée x^ de x, que je suppose appartenir aussi à l'intervalle («, 6).

Je représenterai cette erreur par

en sorte que l'on ait

f(x,) - P(.r„) - A(x, - x,y^^{x, - rr,)-^ ... (.-, - :rX' = o.

A étant un nombre dont je vais chercher une évaluation. Considérons la fonction de x

yn.

où A est, bien entendu, le même nombre que tout à l'heure; ce fonction est nulle ainsi que ses a^ — i premières dérivées p ou X = Xi{i= I, 2, ... n), puisqu'il en est ainsi de/(x) — P (x par hypothèse, et du dernier terme, en A^ertu de sa forme ; elle est encore nulle pour x =^ Xo', sa dérivée d'ordre p devra donc s'annuler pour un nombre ç, intermédiaire au plus petit et au plus grand des nombres x.), Xi, ..., Xn ; or la dérivée d'ordre y) du po~

3 go INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

lynome P [x) est identiquement nulle, on aura donc

f/0^)(?) 1.2 ...pA. = o

et, par suite, en mettant a; à la place de x^.

Si, en particulier, on veut que le polynôme P et ses p — i premières dériA^ées prennent respectivement pour œ r= ccj, les mêmes valeurs quey (.r) et ses /> — i premières dérivées, on devra prendre (n" 174).

et la formule générale conduit à celle-ci :

qui suppose l'existence des p premières dérivées dans l'intervalle (a, 6) auquel sont supposés appartenir les nombres x, x^; '^ est compris entre ces deux nombres.

(i) La méthode qui vient de servir pour la détermination du nombre A s'applique dans beaucoup de questions analogues. Je me contente d'écrire les formules suivantes que le lecteur n'aura aucune peine à établir par cette voie.

(II) m-f:a)='^[f'{a) +/'(6) + 4/'((-^)] + ^r(^,^

(III) f(a) + f(b) - 2/(^^) ={b- a)^f (X).

Pour chacune de ces trois formules on suppose que, dans l'intervalle [a, b) les dérivées de la fonction y fx) existent, au moins jusqu'à l'ordre le plus élevé de la dérivée qui figure dans la formule ; '% représente toujours un nombre compris entre a et 6. La formule (I) est un cas particulier d'une formule générale qui sera établie plus tard ; la formule (III) ne diffère que par les notations d'un résultat établi au n° 228 pour n = 2.