CHAPITRE VI. ÉTUIJE DES FONCTIONS SqI

231. — Celle dernière formule, avec un léger cUangement dans la forme du dernier terme, peut so déduire aisément du théorème des accroissements finis et de la dernière identité du n" 210.

Soient en effet /(x) et /■^{x) deux fonctions de x qui, dans -l'intervalle (a, 6), admettent des dérivées jusqu'à l'ordre /). Si l'-on suppose que les (/> — i)"' dérivées soient continues dans cet intervalle, il suffira d'ailleurs d'admettre l'existence de la //' dérivée à l'intérieur de l'intervalle, La dérivée de la fonction

est égale (n" 210) à

La différence entre les valeurs que prend cette fonction .pour X =^ b, x= a sera donc égale au produit de 6 — a par la valeur de la dérivée pour une valeur 'ê comprise entre a et 6 ; en d'autres termes, on aura

Cette formule est susceptible d'un très grand nombre d'applications {'■). Si, en particulier © (x) estun polynôme du degré y> — i, le terme /(l) 01'') (H) disparaîtra du second membre; d'un autre côtéo'^^'"^) [x) se réduisant à une constante, les quantités Ç''^'~'^'i{b), (D'p~^^{a) seront égales. Si l'on veut en outre faire disparaître les termes

f(b):oO'-^)[b), /"(6)o(i'-^)(6), ..., p>-')(b),

il suffira de prendre pour cp [x) un polynôme qui s'annule pour x = 6, ainsi que ses p — a premières dérivées, en sorte que b sera une racine multiple d'ordre /) — i pour ç {x) : prenons -ce

(') Voir clans le t. II de la 3^ série du Journal de LioiiviUe, p. 29Ô, le McmoiredeM. Darboux, Sur les développements en série des foncti^m d'une seule variable.

polynôme sous la forme

on aura

' ^ ^ ^ ^ 1.2 ... (;j — r — i) La formule (i)deviendra, après avoir divisé pai ( — i)''"S

. ( m -fia) - ^-^f{a)- ^^Y-^^r («) — • - r:^^)/"'~^n«)

C'est la même formule que celle qui termine le précédent numéro, saufla différence entre les notations, d'une part, et d'autre part entre la forme du dernier terme de la formule rappelée et du second membre de la présente formule.

Au reste, il est aisé, en utilisant toujours l'identité dun" 210, et en rapprochant le raisonnement de celui qu'on a employé dans le numéro précédent, de parvenir à une formule un peu j^lus générale. Si on désigne en effet par r un nombre naturel, au plus égal à p et par A (6 — ay la valeur du premier terme de l'égalité (i), en sorte que la fonction de x

-^[f"(b)o{P - ^)^b]—f"(x)o{P - 3)(a;)]...+(i);^-i[-/(P - %by^{b)—f(P-'){x)^(x)]

— A (6 — xy

soit nulle pour x ^ a et x = b,\a dérivée de cette fonction devra s'annuler pour un nombre ^ compris entre a et 6 et différent de ces nombres ; on en conclut

en sorte que, en adoptant pour le polynôme <p (aï) la même détermination que tout à l'heure, on aura