CHAPITRE VI. ÉTUDE DES FONCTIONS SqS

et, d'autre part,

?*. I. 2. ... (yj — 1) -^

C'est, pour r = i, la formule (2), et pour r = p, la formule qui termine le précédent numéro.

En remplaçant dans la formule précédente h par a H- /(, et z, par a -+- Oh, où 0 désigne un nombre positif plus petit que i, elle devient

on donne habituellement à cette formule le nom de formule de Taylor ; le dernier terme s'appelle reste ou terme complémentaire. La nouvelle forme qu'on vient de donner à ce reste offre quelque intérêt pour certaines applications, mais la véritable importance de la formule de Taylor n'est pas dans ce reste ; elle est dans le fait que la fonction f{x), au voisinage d'une valeur a de la variable, se comporte à peu près comme un polynôme ordonné suivant les puissances ascendantes de l'accroissement h de la variable ; c'est sur ce point que je vais insister.

232. — Supposons que la fonction f{x) admette dans l'intervalle (A, B) des dérivées jusqu'à l'ordre /> inclusivement et que la p^ dériA^ée soit bornée dans cet intervalle (c'est ce qui arrivera si elle y est continue) ; supposons que a soit intérieur à l'intervalle (A, B), la formule précédente sera valable pourvu que la valeur absolue de h soit suffisamment petite, et l'on voit que, pour les valeurs x = a -\- h delà, variable voisines de a, la fonction /(.r) se comporte comme ime de ces expressions très voisines d'un polynôme ordonné suivant les puissances croissantes de la variable h, ou 33 — a, dont il a été question au n° 173, dans lesquelles seul le coefficient de la plus haute puissance de la variable n'est pas une constante, mais bien une fonction bornée de cette variable ; pour

394 lîvTRODUCTIOÏ^ A LA THEORIE DES FO>CTIO>S

les petites valeurs de h cette expression se comportera comme un polynôme; elle fournira, en prenant un, deux, trois, ... termes, des valeurs approchées de la fonction ; le premier terme qui n'est pas rml dans le second membre donnera le signe de f{a + h) [ou de f{xY\ pour les petites valeurs de h [ou pour les valeurs de X voisines de a]; la parité et le signe de la première des dérivées^' [d),f" {a), ... qui n'est pas nulle renseignera sur le sens de la variation de f{x) pour x = a, etc. Tout ceci a été suffisamment expliqué à propos des polynômes pour que je ne m'y arrête pas davantage. Je rappelle enfm, que si l'on se fixe le nombre naturel/), il n'y pas, en dehors du second membre, d'autre expression de la forme

A(, + Al /i 4- ... + A^, hP-"^ + A^, hi>.

où Ap, Al, ..., A;j 1 soient des constantes et A^^ une fonction bornée, qui puisse être égale à f(a -h h) pour les petites valeurs de h. En d'autres termes, un développement de cette nature n'est susceptible que d'une seule forme. Cette remarque est souvent utilisée pour le calcul de la 7'^ dérivée d'une fonction f{x), r étant un nombre naturel </>• Si l'on a pu en effet calculer d'une façon ou d'une autre le développement

Aq -f- Al /i + ... -H A,. A'- + ... 4- A,,^ 1 hi'- ' -+- A;, hi>,

on aura

Il convient de noter le cas où a est nul : on suppose bien entendu que o appartient à un intervalle où la fonction f{x) admet des dérivées jusqu'à l'ordre p inclusivement ; on a alors, en remplaçant h par X ;

elle convient particulièrement à l'étude de la fonction pour les petites valeurs de x. Il va de soi que, si l'on connaît d'ailleurs un