CHAPITRE VI. JÎTLDE DES FONCTIONS SgS

développement en série entière

/ :r) = ff^ + «1 .r -h ... -1- a,,.i cd' — ^ H- a^, :rJ' -V- ...,

on connaîtra par là même les valeurs pour x = o des quantités /(o), /"(oi,/"(o), ...,/''-' (o); quant au reste ou au terme compicmen taire, c'est le produit par xJ' de la somme de la série convergente

(ij, -h fl^ + 1 :c + a,,j^^x- -+- ...

233. — L'étude d'une fonction aux environs d'une valeur a de la variable se ramène, en posant x = a -^ h, au cas où la valeur de la variable, aux environs de laquelle on veut étudier la fonction, est nulle ; de même, si l'on veut étudier la fonction pour les valeurs de la variable très grandes en valeur absolue, on posera

X = ~ ; c'est ce qui a été déjà dit, à propos des polynômes ou des

fractions rationnelles, (n"' 173, 174), Je me limiterai donc, dans ce qui suit, au cas où l'on veut étudier une fonction aux environs de la valeur o de la variable.

I. Cette étude est très facilitée lorsqu'on peut ordonner la fonction sous une forme telle que

où Oç,{x),'Si{x), ..., sont des expressions aisées à calculer, dont chacune, lorsque x tend vers o, est infiniment petite par rapport à celle qui la précède : on entend par là que les rapports

G-0 ?2(-^), 'îA-r)

?o(-f-) 'fl(-^-) ?2W

ont pour limite o quand x tend vers o. S'il en est ainsi, il est clair que chacune des expressions

constitue une expression approchée de f{x), pour les valeurs de :c voisines de o, en ce sens que l'erreur relative commise en remplaçant f{x) par l'une de ces fonctions tend vers o quand x tend vers o : si le premier terme que l'on néglige, dans la suite

(^o{x), (pi(x), ... est infiniment petit avec x, c'est-à-dire, tend vers o avec x, l'erreur absolue est infiniment petite avec x. Suivant que l'on aura

lim. ©^(a:) = + go , lim. ^q{x) = — 00 , lim. (fQ(x) = A,

il est clair qu'on aura de même

lim. f'x) 1= + 00 , lim. f(x) = — co , lim. f(x) = A,

lim. f{x) = 0.

Il est bien clair aussi que, pour les valeurs de x suffisamment voisines de o, le signe de f{x) est le même que celui de ©0 [x). Cela revient à dire, dans le cas où ©ol-^) 6st infiniment petit (absolument) aveccc, que la fonction y* (jj) est croissante ou décroissante pour X ^= o suivant que la fonction (po{x) est elle-même une fonction croissante ou décroissante, pour x = o.

II. Un cas particulier très fréquent, est celui où la fonction /(j;), dans le voisinage de x = o, peut se mettre sous la forme

f(x) = A^x^o + Aj.r''' + ... 4- ki,.,x''p-' + A^.a-''^

OÙ «0, «j, ...,(/-,, sont des nombres croissants, où A^, A^, ..., A^i, sont des constantes et A^j une fonction de x, bornée lorsque x reste voisin de o. Tel est le cas pour les polynômes et les fractions rationnelles (n'"' 173, 174). Tel est encore le cas pour les fonctions développables en une série entière en x

«y -r a^x H- a^x^ -|- ... -h a^,ix!'~^ -\- a^jX^' -f- ...,

que je suppose absolument convergente pour les petites valeurs de X, en prenant pour A^ la somme de la série convergente

Tel est encore le cas pour les fonctions pour lesquelles les formules du numéro précédent sont valables, en supposant, bien en-