CHAPITRE VI. ÉTUDE DES FONCTIONS

tendu, que le coefficient de a;'' dans le lermc complémentaire, soit une fonction bornée.

Dans ces différents cas, les nombres a^,, a,, ..., a,, sont entiers et l'on peut supposer que x tende vers o, soit par valeurs positives, soit par valeurs négatives. Il en serait autrement si quelqu'un de ces nombres était ou un nombre irrationnel ou une fraction irréductible à dénominateur pair, auquel cas on ne pourrait considérer que des valeurs positives de .r.

Notons que la forme considérée sera particulièrement utile si le nombre a^,, au moins, est positif, puisque alors, l'erreur commise en négligeant le dernier terme est infiniment petite avec x.

Notons encore que plusieurs expressions du type considéré peuvent se combiner par addition, soustraction, multiplication ; et même par division (en effectuant cette dernière opération par une règle analogue à celle qui sert pour les polynômes) de manière à reproduire des expressions qui soient encore du même type, et servent au même usage. Il convient toutefois d'observer que ces expressions finales n'auront le plus souvent d'utilité que dans le cas où elles contiennent au commencement des termes à coefficients constants, non nuls, et où le dernier terme est infiniment petit avec x.

III. Plus particulièrement encore, il arrive fréquemment qu'on ait affaire à des expressions de la forme j;"'P (.r) dans laquelle P (jî) est, soit une série entière en x, soit une de ces sortes de polynômes ordonnés suivant les puissances entières de x, dans lesquels le coefficient de la plus baute puissance de x est une fonction bornée, au lieu d'être une constante, comme les expressions que l'on a considérées dans le numéro précédent. Dans les deux cas, je suppose essentiellement que P(>k) commence par un terme constant, différent de o, en d'autres termes que P (o) n'est pas nul. Il est clair que deux expressions de ce type, .r"'P {x), x"Q{x), si on les multiplie l'une par l'autre, reproduisent une expression du même type £c'" + " R(-'i')» où R(.r) = P(.r) Q{x) ; si l'on suppose en particulier

où a,,, «1, ..., a,,i, ht), b^, ..., b,.^ sont des constantes et a^, 6,- des

SgS I^TRODUCTIO^f A LA THÉORIE DES F0NCT10>'S

fonctions bornées^ on aura de même

R(a-) = Cq 4- c^x -i- ... H- c,,ix' * -+- c,,a:'',

où les constantes c^, Cj, c,.i ne dépendront que des constantes

Uq, ..., a,.i, 60, ..., h,^ et auront les mêmes valeurs que si l'on avait multiplié simplement les deux polynômes qui se déduisent de P [x], Q [x) en supprimant les termes complémentaires a,.a3'', 6,.x'' ; de même encore si l'on divise l'une par l'autre les expressions a3'"P (a;), £c"Q (œ), on aura une expression du même type j;"'~" S(a^), S(x) commençant par un polynôme d^ -h c/ja: -h ... -h f(,.„i x''~' à coefficients constants, qui serait le même que celui obtenu en effectuant la division de

f(„ H- a^^x -t- ... -h «,. iJ"' ~* par 6^ -H 6j,r + ... -+- 6,.ij:''- '

et en s'arrêtant dès que le reste est divisible par ce.

De même encore si l'on élève à une puissance a l'expression 03"'P(£c), on obtiendra l'expression

cc'"^[P {x)Y = a?^'"" [ I + ? G'T}]''' dans laquelle on a posé

et dans laquelle, si a est un nombre irrationnel ou une fraction irréductible à dénominateur pair, on doit supposer «q >> o, pour que flg ait un sens. On a d'ailleurs

■ , «(«->)-.+(«^ilzti)[,(^)]'A

oiî il est clair que A est une fonction bornée dans le voisinage de o. On voit de suite que le second membre peut s'ordonner sous la forme

j -{- h\x + k.^x^ -H ... H- Av iX'— ^ + k,.x'',