CHAPITRE VI. 1-TLDE DES FONCTIONS SqQ

que les coefficients constants l,\, /,.,, ..., A',— i ne dépendent que de a,j, Qj, ..., a,.— i' fl^e ces coefficients sont les mêmes que si l'on s'était servi, au lieu de '^{-c), du polynôme qu'on en déduit en

supprimant le dernici" terme — .c'" et si l'on avait limité au terme

afa — i) ... (3

îl [,;.)]■-

le développement de [i h- '^(-ï)]^ ; de cette façon on aura mis la puissance a" de .7;'"r(x) sous la forme x"'*T(x), appartenant au type considéré.

L'exemple qu'on vient de traiter suggère la remarque suivante qui peut être commode. Si dans l'expression

dans laquelle A„. A^, .... A,.i sont des constantes et A,, une fonction bornée quand y reste voisin de o, on remplace y par l'expression

oii 7-1, y.^, ..., y.r-i sont des constantes et y.r une fonction bornée lorsque x est voisin de o, on obtient une expression de la forme

Bo + B,.r + ... -^ B,i.7"-i -+- B,:f

oùB„,Bi, ..., B,.i sont encore des constantes et B,. une fonction bornée ; pour calculer B„, Bj, .... B,.i, il suffit, dans le polynôme

en y

Ao + A,y -1-... -h A,iy'-i,

de remplacer x par le polynôme

rt^x -h a,:r^ H- ... -1- v-,- -\ x^~K

d'ordonner par rapport aux puissances de x, en négligeant les termes de degré égal ou supérieur à 7'.

Ce que je viens de dire suffit amplement pour que le lecteur comprenne que, si l'on veut parvenir à ces expressions approchées d'une fonction qui permettent de la calculer approximativement et

de se rendre compte de son allure pour les valeurs de x voisines de G, on peut, dans bien des cas, se borner à effectuer des calculs sur des polynômes ordonnés suivant les puissances ascendantes de la variable. Toute l'habileté consiste à ne conserver dans ces polynômes que les termes dont on a besoin pour arriver au résultat désiré. Les remarques qui précèdent suffiront le plus souvent à atteindre ce but.

234. — Les observations que l'on a faites dans le précédent numéro sont particulièrement utiles pour déterminer les limites, pour une valeur donnée de la variable, d'expressions qui, pour cette valeur, prennent une forme illusoire ; telles sont par exemple les expressions

la première pour a? = o, la seconde pour x -= ■:^. Les fonctions,

pour ces valeurs respectives de x, ne sont pas définies ; elles sont définies pour les valeurs voisines ; il est naturel de se demander si elles ont une limite, et d'une façon plus générale comment elles se comportent ; il suffira pour la premièie de remplacer au numéra-

teur sin £C par œ — -rr H — — — ... ; elle deviendra alors, après

avoir effectué la division par ^^^

et Ton voit de suite que la fonction considérée admet g pour limite, pour œ = o; on dit, avec la même signification, que, pour X = o, sa vraie valeur est n ; on voit de plus que si on lui attribue

effectivement cette valeur, elle est continue pour œ = o et passe par un maximum.

Pour l'expression {i x — n) Ig- x, on y fera x = - -\- h ; elle

deviendra

2 h 2 h cos- h

tg^ h sin^ h

CIIAPITHE VI. ÉTUDE DES rONCTIONS 4oi

et ne remplananl sin //. et cos //, par A — ^- 4- •••» i — ~,' ~^ "•'

lorsque x s'approche de ^ , lix — ~\ tg^ x se comporte comme

la fraction — - — , et tend vers -i- oc ou vers — co suivant que x

s'approche de - par des valeurs plus grandes que ^ , ou plus petites;

(2 X — -rz) Ig- X

la différence

a pour limite o, quand x s'approche de -. Soit à évaluer l'expression

V x^ -i- X -h i 4-/4 ^1-'- — I — Sx

pour des valeurs positives très grandes de x; on devrait, d'après la

Tègie donnée au n° 232 poser j; = - et étudier la fonction trouvée

pour r voisin de o ; on va faire exactement les mêmes calculs, sans toutefois faire ce changement de variables ; on a