CHAPITRE î. FU.VCTlO>"S CON'mLES

les seconds membres peuvenl être supposés aussi petits rpi'on le veut ; il suffit de les supposer moindres que la valeur absolue de |, qui n'est pas nulle puisque x est irrationnel, pour cire sur que )., a et, par suite, c et cl sont du même signe que c ; or, quitte à changer le signe des quatre nombres a, p, y, o\ on peut supposer que I soit positif. On a d'ailleurs

= 3 (Q„i — ()n—i) + Q- — fi Q"-i — i:-^ — ^; Q"-:^' et, d'un autre côté,

il suffit donc de prendre n assez grand pour que l'on ait

on

sera certain que aQ„i — v- Q^— 2 ou c — (/ est positif.

41. — Il est bien aisé de voir que, si la suite des quotients inconiplets est périodique, la valeur de la fraction continue est racine d'une équation du second degré à coefficients entiers.

Supposons, en effet, en désignant toujours par «0» *^i» ••• la suite des quotients incomplets, que la période commence à a^ pour se terminer à a,,i, en sorte que l'on ait

«„ = (7^, «„i.j = fli, ao„ji = a„i, a." = «û'

Remarquons en passant que l'hypothèse a„ = a^ exige que a^ soit au moins égala i. On aura, en conservant les notations antérieures, An = A, A„ + i = Aj, puisque le quotient complet A„ (n° 38) peut être regardé comme la valeur de la fraction continue illimitée

identique à celle qui définit A ; mais on a en général . P„, A., -t-P„,.

6o INTRODUCTION A LA THÉORIE KES lONCTIONS

A sera donc la racine positive de l'équation du second degré à •.coefficients entiers

Par exemple, en supposant n — i rr= 3, a^ = i, a^ ^ 2, a^ = 3 ; on voit que la valeur de la fraction continue périodique est égale à

On ramène aisément à ce cas celui où la période ne commence pas au premier quotient incomplet. On doit à Euler et à Lagrange d'avoir établi la réciproque de cette proposition, c'est-à-dire la périodicité des quotients incomplets de toute fraction continue dont la valeur est racine d'une équation du second degré à coefficients entiers, à racines réelles et irrationnelles.

Soit {')

(i) ax- -f- 2 ^a; H- y = 0

une telle équation, dont les coefficients a, i^i, y sont entiers, |5'^ : — ay étant positif sans être le carré d'un nombre rationnel; désignonsen les racines par A, A' et supposons qu'on développe la première racine en fraction continue; soit Og, a,, ..., a„, ... la suite des quotients incomplets, et reprenons pour le reste les notations ordinaires. Le if quotient complet An étant lié à A par la relation

A I n — l A„ -+- in — 2

on aura

«(Pn-l A„ + P„o)2 -f- 2p (P„i A„ + P„o) (Q„,i A„ -+- Q„, 2)

+ 7 (Q„i A„ -+- On-^^ = o,

c'est-à-dire que A,, sera racine de l'équation du second degré à coefficients entiers

(1) La démonstration donnée ici est duc à M. Chauves {Bulletin des Sciences mathémat'qiies, 2' série, t. I, p. 4i).

CIIAI'ITHE I. FJi ACTIONS CONTINUES 61.

OÙ l'on suppose

Il est bien aisé de voir que a,,, jS», '/" sont en valeur absolue, moindres que des nombres fixes. Soient en effet,

c,!—[. cii—i sont moindres que i, en valeur absolue (n° 35) ; cesdeux nombres sont d'ailleurs de signes contraires ; en remplaçant dans les expressions de a,,, [jn, '/„ et en se rappelant que A. est une racine de l'équation (i) on trouve

a„ = 2 (aA + P) E„i H- a j4^^^,

d'où l'on déduit immédiatement

I a, 1 < 2 1 aA -i- p I + I a I, | v„ |< 2 | aA -f- ^ | -+- | a |

Quant à ^S,,, si l'on observe que -,^^-^ = p,^- - — A est plus^ petit en valeur absolue que t-j tt (n° 35). et que, par

conséquent, £„.,.) ^ est plus petit que i en valeur absolue, on, voit tout de suite que l'on a

1 p„ I< 2 1 aA H- p 1 -4- I a [ ;

Ca T>!TRODUCTION A LA. THEORIE DES FOA'CTIO^iS

les nombres entiers a„, 2fj„, Y„, devant rester inférieurs en valeur absolue à des nombres fixes, ne peuvent, lorsque l'on fait varier/î, présenter qu'an nombre fmi d'arrangements; il faut donc que, pour une infinité de valeurs de n, on retombe sur la même équation du second degré, et que, par suite, deux quotients complets A,„ et A,n 4- p soient la même racine de la même équation du second ■degré ; or l'égalité Am + p = A„j entraîne

"hi -f- 2' "»i) ^m + ;; 4- 1 ^»i -j- 1) • • • ) "))i -j" -P '^"î + P ^iny • • •

La périodicité de la suite des quotients incomplets est établie- Par exemple en prenant a = i, p ^ o. y = — 2, on voit que les valeurs absolues de a», '/n devront être au plus égales à 3, celle de 2|3„ au plus égale à 7.

Les valeurs trouvées plus baut pour a», y,;, où l'on a déjà observé que cn—i et en -2 étaient de signes contraires, montrent que a» et y„ sont de signes contraires pour de grandes valeurs de n, car si onmetc„i, Sn — i en facteurs, les facteurs restants

2 (aA + P) -i- a ^V^- . 2 (aA + P) + a -^^^A ,

sont du signe de 2 (a A + l'S) = a (A — A'), puisque les autres termes peuvent être supposés aussi petits qu'on veut. Cette observation jointe à l'identité

= 4P- — 4 aï,

suffirait à montrer que les valeurs absolues des nombres entiers 2]Sn, 2a„, 2y„, dont les deux derniers sont de signes contraires, ne peuvent dépasser un nombre fixe, ^f:j^ — 4^-7 par exemple, et par conséquent à établir la périodicité de la suite des quotients incomplets.

Cette périodicité résulte donc, ainsi que Hermite en a fait la remarque {^), de ce que, pour des valeurs suffisamment grandes de n,

(^) Bulletin des Sciences mathématiques, 2<! série, t. IX, p. 11.

CIIAl'ITIŒ 1. rnACTIONS CONTINUES (ï.y

'rcqualloa (•>) a ses racines de signes contraires; or ce poinl résulte immédialemciil d" ce f[uc les deux racines A„, A^ de cette équation ■sont lices aux racines A, A' de l'équation (i) par les relations

-n„,A -t-P,,-., '^"- Q„iA-P„i'

'^^- [--feiJ'

dont la seconde montre que, pour do grandes valeurs de n,

— rï'~' fournit une valeur très approchée de Aï, ; en cfTet pour de v'« — 1

P fifrandes valeurs de n, ^.^^— ^ est voisin de A; la différence entre

•Ail et — f\ — '-' peut s ecru-e

©•utre l'intérêt que ce résultat présente en lui-même, on voit, puisque les nombres Qm-i, Q«-2 sont positifs, que \'„ est nécessairement négatif pour les grandes valeurs de n ; quant à A„, qui est un quotient complet, il est sûrement positif pour n> i. On a ainsi une seconde démonstration de la périodicité.

42. — ^lentionnons, pour terminer ce sujet, une autre observation de Hermite, relative à une proposition que l'on doit à 'Galois.

On a vn au commencement du numéro précédent que, si la période d'une fraction continue périodique commençait au premier 'terme et était formée des quotients incomplets a^, a,, ..., a„ — i, la .•valeur de cette fraction était racine de l'équation

Qn -i^'-^ (0. , - P, 0 .^ - P. -2 = o ;

cette équation a i.ne seconde racine, comprise entre o et — i, comme on le voit en substituant ces deux nombres, à la place de .a;, dans l'équation précédente; désignons cette seconde racine par

— >, I étan»- un nombre positif plus grand que i; £ sera la ra-

cine positive de l'équation

I\2 'ç' + (Q„, - P„,) a - (),,-, = o, d'où l'on tire

or, on voit immédiatement, par les relations (i) du n" 34, qui donnent

Pn — i P)r — 3 Ij^ , I

"p "" "n — 1 "+" T)' "•'•••> p i ~^ TT ^

V" — i V'( — 1 Vo

. p quCjSil'on développe en fractions continues limitées les fractions p^^— ^

.Y'-~Sontrouvelesquotientsincomplcts«,î-i, cin — ^, ..-,«i, rt^ pour

la première, et cin—i, «n — 2, ..., «2, «j pour la seconde; en sorte que ---'izii n'est autre que Tavant-dernière réduite de la fraction continue limitée formée au moyen de ces quotients incomplets ««—i,

p a«-2, ..., «0' la dernière étant p'' — *; si donc, quel que soit le

nombre B plus grand que i, on développe ,"~^ r TV~~^ ^^^

fraction continue, on trouvera d'abord les quotients incomplets «n — 1, «H— 2, ..., tto, puis ceux qui proviendraient de la réduction de I en fraction continue ; si maintenant c. Térilie l'égalité

il faut que le développement de ç en fraction continue soit périodique, commence par a,,, et que la période soit formée des quotients incomplets «„, ««-1, ..., a^, a^.